Dinâmica da Rotação

Faremos uma abordagem da Dinâmica de Rotação procurando mostrar os conceitos fundamentais e sua analogia com seus equivalentes já conhecidos na Dinâmica de Translação. Os conceitos a seguir deverão estar ao alcance dos estudantes de nível médio que já tenham aprendido a lidar com as Leis de Newton, movimento circular e energia cinética.

Parte 1 - Inércia, Massa e Momento de Inércia

Já aprendemos que a inércia corresponde a uma tendência natural dos corpos para conservar o seu estado de equilíbrio, ou seja, para permanecer no estado de repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme, conforme estejam em repouso ou em MRU.

Isto está enunciado na Primeira Lei de Newton, ou Lei da Inércia.

Para produzir uma alteração no estado de inércia de um corpo necessitamos empregar uma força cujo resultado será uma aceleração. Sabemos que essa aceleração será tão maior ou tão menor quanto maior ou menor for a massa do corpo. Eis porque a massa é considerada uma medida da inércia dos corpos.

Este é o conteúdo da Segunda Lei de Newton. No nível médio ela nos é apresentada na forma F=m.a. Veremos depois que Newton a apresentou de outra maneira no seu "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica".

Os corpos em rotação também possuem inércia e obedecem a segunda lei. Há, porém, na rotação, uma particularidade: a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação.

Se você colocar a sua bicicleta com as rodas para cima de modo que possa fazer girar a roda dianteira livremente verá que ela gira de maneira estável e equilibrada. Se, entretanto, você adicionar uma massa em um ponto da sua circunferência e novamente colocá-la para rodar, perceberá que agora ela produz um "solavanco", querendo pender ora para lá, ora para cá. Isso aconteceu porque você alterou a distribuição da massa da roda em relação ao seu eixo de rotação. Uma grandeza chamada Momento de Inércia foi alterada e outra grandeza chamada Momento Angular mudou de posição.

O que interessa no momento é perceber que o resultado da força que foi empregada (suponhamos a mesma nos dois casos) foi diferente para cada distribuição de massa.

Isso nos indica que no caso da rotação, a inércia não é representada apenas pela massa, mas também pela sua distribuição em relação ao eixo de rotação. Isso recebe o nome de Momento de Inércia e, na rotação, representa a inércia do corpo, assim como a massa o faz na translação.

Momento de Inércia de uma partícula em rotação

A figura 2, ao lado mostra a situação em que uma partícula de massa m descreve uma rotação em torno de um eixo descrevendo um círculo de raio r.

A partícula gira com uma velocidade $v=\omega r$ e logo a sua energia cinética é

$E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mr^2\omega^2$

A grandeza $I=mr^2$ recebe o nome de Momento de Inércia.

Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas cujas posições relativas são fixas.

A figura 3 mostra um sistema de partículas em rotação ao redor de um mesmo eixo, mantendo suas posições relativas constantes. O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia de cada partícula:

$\\I=I_1+I_2+...+I_n\\I=m_1r_1^2+m_2r_2^2+...+m_nr_n^2\\I=\sum m_ir_i^2$

Para cada distribuição de massa e para cada eixo de rotação teremos um momento de inércia. Esses momentos de inércia são obtidos através do Cálculo integral que expressa de maneira contínua aquele somatório. Na tabela abaixo são fornecidos os momentos de inércia de algumas didtribuições de massa:

Momentos de Inércia

Elemento	Posição do eixo	Momento de Inércia	Posição do eixo	Momento de Inércia
Haste fina (L)	perpendicular ao centro	$I=\frac{1}{12}mL^2$	na extremidade	$I=\frac{1}{3}mL^2$
Disco	perpendicular ao centro	$I=\frac{1}{2}mr^2$	contendo um diâmetro	$I=\frac{1}{4}mr^2$
cilindro	pelo centro, paralelo à geratriz	$I=\frac{1}{2}mr^2$	pelo centro, perpendicular à geratriz	$I=\frac{1}{12}mr^2$
esfera	contendo um diâmetro	$I=\frac{2}{5}mr^2$

ir para a Parte 2