A parábola de segurança e sua equação

por richardkloster Qui 04 maio 2017, 04:22

A parábola de segurança é muito útil para resolver problemas envolvendo máximos e mínimos de lançamento de projéteis.

Consideramos um projétil com velocidade Vo fixa e seu ângulo de lançamento variando entre 0º>α>180º.

A equação da trajetória de um lançamento oblíquo qualquer em função de Vo e α é dada por:

$y=tg\alpha .x-\frac{gx^2}{2Vo^2.cos^2\alpha }$

Na imagem a seguir, vemos a parábola de segurança em amarelo e inúmeras quantidades de parábolas possíveis para cada diferencial de α. Apenas desenhei algumas.

A parábola de segurança e sua equação Paryyb10

Dado o valor fixo de Vo, para cada α a parábola atinge uma altura máxima em um certo ponto e a união de todos esses pontos nos dá uma outra parábola, a chamada parábola de segurança. A região interna da P.S. é conhecida como área de perigo, pois qualquer objeto nessa área pode ser atingido pelo projétil para dois valores específicos de α. Se o objeto está exatamente em algum ponto da P.S. ele também corre perigo de ser atingido, mas apenas para um específico valor de α . A região externa é área segura. Qualquer que seja a posição do objeto ele nunca será atingido pelo projétil para a dada Vo fixa, independente do seu ângulo de lançamento.

Encontrando a equação da parábola de segurança:

Considerando origem de cada projétil em (0;0) com Vo e ângulo α. Sendo P (xp,yp) um ponto que se deseja atingir.

Para isso, o ponto P (xp,yp) deve pertencer à trajetória:

$yp=tg\alpha .x-\frac{g.xp^2.1}{2Vo^2.cos^2\alpha }$

Mas

$\frac{1}{cos^2\alpha }=sec^2\alpha=1+tg^2\alpha$

Então

$yp=tg\alpha .xp-\frac{g.xp^2}{2Vo^2}(1+tg^2)$

$\frac{g.xp^2}{2Vo^2}.tg^2\alpha -xp.tg\alpha+yp+\frac{g.xp^2}{2Vo^2}=0$

Temos uma equação de segundo grau na variável α.

Essa equação fornece ângulos quais a trajetória passa por (xp;yp). Porém, por ser uma equação de segundo grau, ela nos dará dois valores de α em que existe a parábola de segurança, o que está correto. Mas nós queremos apenas o valor de α para que a parábola de segurança tangencie todos os pontos máximos das trajetórias. Portanto, queremos um ∆=0, onde ∆=b²-4ac.

Como os coeficientes a,b,c dá nossa equação da parábola de segurança são:

$a=\frac{g.xp^2}{2Vo^2}$

$b=xp$

$c=yp+\frac{g.xp^2}{2Vo^2}$

Então

$b^2-4ac=xp^2-\frac{4g.xp^2}{2Vo^2}.(yp+\frac{g.xp^2}{2Vo^2})=0$

$xp^2=\frac{4g.xp^2}{2Vo^2}.(yp+\frac{g.xp^2}{2Vo^2})$

$\frac{Vo^2}{2g}=yp+\frac{g.xp^2}{2Vo^2}$

$yp=\frac{Vo^2}{2g}-\frac{g.xp^2}{2Vo^2}$

Essa é a equação da parábola de segurança. Fui apresentado a ela por um dos meus professores e queria repassar, pois é uma expressão bem poderosa e não muito conhecida e saber dela facilita em várias questões.