Uma introdução aos juros compostos

Este tópico é uma prévia de uma página sobre juros compostos que estarei adicionando ao PiR2 em breve.
A ideia aqui é explicar de forma simples, passo-a-passo, os juros compostos e sua importância, de uma maneira lógica e que seja fácil de relembrar. Um dos objetivos é que os tópicos possam ser relacionados com facilidade. Durante o texto, alguns exemplos são resolvidos.

Conceitos envolvidos: juros, inflação, deflação, valor presente, valor futuro, investimentos, empréstimos, taxas equivalentes.

Nota: Esta página tem o objetivo de explicar, de forma simples, os principais conceitos envolvendo os juros compostos. Portanto, o rigor dos termos não será sempre o maior possível.

Sobre os juros, a inflação e deflação
Os juros estão presentes no universo financeiro, sendo fundamentais no sistema econômico mundial. Daí, conhecer sua essência é fundamental para aqueles que desejam compreender o funcionamento da moeda (dinheiro).

Vamos explorar com frequência duas das situações nas quais os juros estão presentes: Empréstimos e Investimentos. Alem disso, vamos discutir o valor da moeda ao longo do tempo. Assim, teremos uma ideia mais clara da importância de entender os juros e a base por baixo deles.

Quando falamos de emprestar dinheiro, existem duas situações clássicas que representam dois lados da mesma moeda:
- Quando você pega emprestado de uma instituição financeira.
Exemplo: Quando você contrata um empréstimo. Neste caso, podemos dizer que a instituição está investindo em você. Os juros que você vai pagar compõem o rendimento da instituição.
- Quando você dá emprestado para uma instituição financeira.
Exemplo: Quando você faz um investimento em CDB. Neste caso, é você que está investindo. Os seus rendimentos são os juros que a instituição financeira vai pagar para você.

Podemos dizer que os juros representam um preço pelo dinheiro, pago por quem o captou, recebido por quem o deu emprestado.

Daí, você pode ver que não são apenas pessoas que precisam de empréstimos. Em muitos casos, as instituições financeiras utilizam o dinheiro dos investidores para acelerar seu crescimento.

Em outros casos, como os bancos, as instituições financeiras podem usar o dinheiro recebido de investimentos (incluindo os juros dos empréstimos) para dar emprestado a uma taxa de juros maior. Vamos a um exemplo:

Você investe 1.000 reais em um banco. O banco empresta os 1.000 reais para uma outra pessoa que precisa mais do dinheiro, cobrando 500 reais de juros da pessoa. Para você, o banco irá pagar 100 reais de juros. Neste exemplo, o banco lucra 400 reais, você lucra 100 reais, e a pessoa que pegou emprestado é quem paga a conta (500 reais). O próprio lucro do banco poderá ser utilizado para emprestar a outra pessoa, que também irá pagar mais juros, gerando um ciclo de rendimentos para o banco. O negócio é lucrativo para o banco porque ele paga menos juros para você do que ele cobra da pessoa para quem ele empresta.

Existe, claro, um risco da pessoa não pagar o empréstimo. Por isso, a taxa de juros é maior quanto maior for o risco da operação. Daí entendemos o porquê de um empréstimo com garantia de imóveis ter uma taxa menor.

Antes de ir mais a fundo, precisamos introduzir a discussão de uma ideia: a inflação.

Quando você vai ao mercado, acaba notando que os preços estão subindo com o passar do tempo. Além disso, há situações em que os preços não mudam significativamente, não de maneira tão óbvia: os produtos ficam menores ou sofrem redução na qualidade. Nas duas situações, você está pagando mais caro.

A inflação é uma consequência de fatores de mercado, mas também é controlada pelo governo. Na prática, existem diversas razões para o aumento da inflação:
- Impostos: O governo pode estar gastando mais do que arrecada com os impostos. Qual é a provável reação do governo? Isso mesmo, aumentar os impostos. Os produtores, por terem que pagar mais impostos, repassam os custos para os consumidores, que sofrem com um aumento do preço dos produtos.
- Impressão de dinheiro: Outra forma de o governo cobrir os gastos é imprimir mais dinheiro para pagar as contas. Isso aumenta a quantidade de dinheiro em circulação. O dinheiro perde valor: mais pessoas estão com dinheiro e dispostas a pagar um preço maior por um produto mais escasso. Os preços são aumentados.
- Empresas: Vendo que a inflação vai ocorrer (e o dinheiro terá menos valor), as empresas aumentam os preços para compensar a perda. Outro caso: Se poucas empresas vendem um produto, podem combinar os preços (mais altos) para aumentar os lucros.
- Se um produto é muito procurado e há pouco estoque, mais pessoas estarão dispostas a pagar mais para obtê-lo, e o seu preço irá aumentar. Por exemplo, uma seca pode estar afetando as plantações, causando uma redução na quantidade de tomates disponíveis. Os vendedores podem imaginar que, se aumentarem o preço, algumas pessoas não irão conseguir pagar, mas outras pessoas com mais dinheiro, e que gostem muito de tomate, irão aceitar pagar um preço mais alto. Quanto maior for a escassez do produto, tanto mais o preço poderá ser aumentado, garantindo o acesso aos que estiverem dispostos a pagar mais.

Então, quais são as consequências da inflação? Citando o BCB, a inflação gera incertezas e ineficiências na economia, o que desestimula os investimentos e prejudica o crescimento econômico. Todos perdem a noção dos preços relativos e, assim, fica difícil avaliar se algo está barato ou caro. A inflação afeta principalmente as camadas menos favorecidas da população. A inflação também aumenta o custo da dívida pública.

A deflação é a redução dos preços, o oposto da inflação. Embora possa parecer algo desejável, a deflação também prejudica a economia. Citando novamente o BCB, preços em queda podem ser prejudiciais para o bom funcionamento da economia. Um comerciante poderá ter prejuízo se ganhar menos amanhã pelo estoque que fez hoje. As famílias e as empresas poderão adiar suas compras e investimentos se houver a perspectiva de que os preços serão mais baixos no futuro, reduzindo a atividade econômica. Por isso, a perspectiva de que os valores cobrados sejam relativamente estáveis ao longo do tempo, com inflação baixa e previsível, é importante para o planejamento de todos.

Valor presente e valor futuro

Sabendo que existe a inflação, podemos partir para outra ideia importante:

O valor do dinheiro hoje (o que ele pode comprar) é maior que o valor do dinheiro amanhã.

De forma mais prática, o que você pode comprar com 1.000 reais agora é mais do que você poderá comprar com 1.000 reais no futuro.

O valor que o dinheiro tem agora é chamado "Valor Presente". O valor que o dinheiro terá no futuro é chamado "Valor Futuro".

A relação dos juros com a inflação 

Até agora, fizemos uma contextualização sobre a utilização dos juros, vimos o que são inflação e deflação, e definimos  "valor presente" e "valor futuro". Agora vamos definir as suas relações.

Quando uma pessoa faz um investimento do tipo "renda fixa", está aplicando um valor presente em troca de um valor futuro. Visto que o dinheiro perde valor com o passar do tempo, existe uma diferença entre o rendimento nominal e o rendimento real da pessoa. Por exemplo, considere que uma pessoa está aplicando 1.000 reais (valor presente) em um investimento que promete um retorno de 8% depois de 1 ano, e que a inflação irá reduzir o valor do dinheiro em 10% dentro de 1 ano. Na prática, a pessoa terá 1.080 reais depois de 1 ano. Como 1.080 reais hoje terá 10% menos valor em 1 ano, a pessoa terá o equivalente a 972 reais hoje (valor futuro). Portanto, podemos dizer que a pessoa perdeu poder de compra (no investimento) após 1 ano. Um exemplo para simplificar: ao ir no mercado, em vez de poder comprar o equivalente a 1.080 reais, a pessoa poderá comprar o equivalente a 972 reais. O rendimento do investimento foi inferior à inflação.

A lógica é a mesma na situação em que a instituição financeira dá emprestado. Por exemplo, se o banco empresta 1.000 reais, para não sair no prejuízo ele teria que cobrar de juros, no mínimo, o equivalente ao valor perdido pela inflação.

Uma curiosidade: Se o banco cobrar 10% de juros, ainda estará no prejuízo, pois os juros serão cobrados em cima do valor presente, e a inflação impactará o valor no futuro. Por exemplo, ao pedir 1.100 de volta, os 1.000 reais terão perdido valor (irão valer 900 reais), e os 100 reais adicionais que cobririam essa perda também terão perdido valor (valendo 90 reais). Seria necessário cobrar mais 11,11 reais, que irão valer 10 reais. Portanto, o banco precisaria cobrar os 1000 reais emprestados, mais 100 reais para compensar a perda de valor dos 1.000 reais, mais 11,11 reais para compensar a perda de valor dos 100 reais.

Agora, podemos discutir com mais facilidade o que são os juros e como calculá-los. Depois, poderemos relacioná-los com o que discutimos.

Juros simples e juros compostos

Nas aplicações envolvendo juros simples, uma quantidade proporcional ao valor principal é acrescentada ao valor total em cada período.

Vamos a um exemplo.

Uma quantia de 1.000 reais é investida a uma taxa de juros simples de 10% ao mês.

Aqui temos:

Valor principal = 1000 reais
Taxa de juros = 10% ao mês = 100 reais

Após 1 mês, o montante será igual à soma do valor principal com os juros do período. Assim, teremos 1.100 reais. Passados mais 5 meses, teríamos 1100 + 5*100 = 1600.

Vamos ver agora como representar as aplicações com juros simples por meio de equações matemáticas. Sendo J a quantia referente aos juros (o rendimento), C o valor principal (o valor presente), i a taxa de juros, t o período, e M o montante (o valor futuro).

J = C * i * t
M = C + J
M = C(1 + i*t)

Note que os juros simples são proporcionais ao tempo. 

Vamos retomar o último exemplo. Podemos calcular a quantidade de juros para um período de 2 anos da seguinte forma:

O valor presente é 1.000 reais, então C=1000
A taxa é 10%, então i=0,1
2 anos têm 24 meses, então t=24
 
Temos então:
J = C * i * t
J = 1000 * 0,1 * 24
J = 2400
M = C + J
M = 1000 + 2400
M = 3400

Podemos dizer, então, que o rendimento obtido após 2 anos é de 2.400 reais. O valor futuro é de 3.400 reais.

Na prática, as aplicações financeiras envolvem juros compostos. Nesta modalidade, os juros obtidos ao longo dos períodos são levados em conta na hora de calcular o valor futuro, de tal forma que os juros vão se compondo com os juros dos períodos anteriores. Modificando um pouco o nosso exemplo anterior, poderemos entender melhor isso.

Uma quantia de 1.000 reais é investida a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês.

Vamos realizar os cálculos para os dois meses iniciais.

No final do primeiro mês, os 1.000 reais sofreram um aumento de 10%. Teremos então 1000 + 100 = 1100. 
No final do segundo mês, os juros sobre os 1.000 reais, referentes a dois meses, representam 200 reais. Além disso, há incidência de juros, referentes a um mês, sobre os 100 reais adicionais, somando 10 reais ao valor final. Portanto, teremos 1000 + 200 + 10 = 1210 reais. De forma equivalente, podemos dizer que os 1.100 reais do final do primeiro mês receberam um aumento de 10%; daí, temos 1100 + 110 = 1210.

Se você analisar o exemplo, verá que os juros simples continuam aparecendo. No entanto, começamos a aplicar juros simples sobre os juros previamente gerados, formando uma composição. É daí que vem o nome "juros compostos".

A ideia dos juros compostos é que, para um valor presente, teremos um valor futuro, que depois será o valor presente de um posterior valor futuro, e assim por diante.

Com essa matemática em mente, vemos que, se a inflação não for estável, a taxa de juros perderá sua previsibilidade. Se o valor futuro real é incerto, uma determinada taxa de juros fixada não irá se aproximar da realidade. O risco é maior para os investimentos; por exemplo, uma inflação mais alta do que o esperado poderá representar uma perda, visto que os rendimentos são fixos.

No caso dos juros compostos, as equações são um pouco mais avançadas. Por isso, inicialmente, vamos entender a lógica envolvida.

Assuma que um capital C será aplicado. Este é o valor presente.
No cálculo do primeiro período, teremos um valor futuro:
C + C*i = C(1 + i)
No cálculo do segundo período, o valor do final do primeiro período será o valor presente. Daí, teremos o valor futuro:
C(1 + i) + C(1 + i)*i = C(1 + i)(1 + i)
No cálculo do terceiro período, o valor do final do segundo período será o valor presente. Daí, teremos o valor futuro:
C(1 + i)(1 + i) + C(1 + i)(1 + i)*i = C(1 + i)(1 + i)(1 + i)

Daí, fica fácil ver que, para t períodos, teremos:
M = C(1 + i)^t

Assim como fizemos anteriormente, outra forma de ver isso é considerando cada valor separadamente.

No cálculo do primeiro período, teremos:
- O capital aplicado: C
- Os juros aplicados ao capital para o primeiro período: C*i

No cálculo do segundo período, teremos:
- O capital aplicado: C
- Os juros aplicados ao capital para o primeiro período: C*i
- Os juros aplicados ao capital para o segundo período: C*i
- Os juros aplicados ao juros (que tinham sido aplicados ao capital para o primeiro período): C*i*i

O valor total no segundo período será: C + 2*C*i + C*i^2, que é equivalente ao resultado anterior. Para conferir, aplique a propriedade distributiva.

Vamos utilizar a equação como base de praticamente toda a matemática daqui em diante:
M = C(1 + i)^t

Vamos a alguns exemplos para exercitar o cálculo com juros compostos.

Em julho de 2022, você aplicou 10.000 reais, a uma taxa de juros de 1% ao mês. Quanto você terá em julho de 2042?

Equação:
M = C(1 + i)^t

C = 10000
i = 0,01
t = 20 anos = 240 meses 

M = 10000(1 + 0,01)^{240}
M = 108.925,54

Portanto, o seu dinheiro irá se multiplicar por mais de 10 vezes!

O poder dos juros compostos está no longo prazo. Mais juros a partir de juros anteriores poderão se formar.

Em julho de 2015, você aplicou 10.000 reais. Em julho de 2016, você precisou sacar 5.000 reais para uma emergência. Em julho de 2017, você ganhou uma quantia inesperada e decidiu aplicar mais 5.000 reais. Quanto você terá em julho de 2022? A taxa de juros é de 1% ao mês.

Como já vimos, podemos aplicar separadamente a equação para cada aplicação/saque.

Se convertermos os valores dos seus respectivos anos (2015, 2016 e 2017) para os valores que representariam em 2022, a soma desses valores irá representar o valor possuído em 2022.

Para os 10.000 reais aplicados, temos:
M_1 = 10000(1 + 0,01)^{7*12}
M_1 = 23.067,23
Este é o valor que os 10.000 reais de 2015 teriam em 2022.

Para os 5.000 reais sacados, temos:
M_2 = 5000(1 + 0,01)^{6*12}
M_2 = 10.235,50 reais
Este é o valor que os 5.000 reais de 2016 teriam em 2022.

Para os 5.000 reais aplicados, temos:
M_3 = 5000(1 + 0,01)^{5*12}
M_3 = 9.083,48
Este é o valor que os 5.000 reais de 2017 teriam em 2022.

Então, em julho de 2022 você terá:
M = M_1 + (-M_2) + M_3
M = 21.915,21

Note que o saque representa uma subtração do valor investido.

Falamos bastante de investimento até agora. Então vamos a um exemplo que trata da outra face da moeda: os empréstimos.

Você pegou emprestado 500 reais a uma taxa de juros de 1% ao mês. No primeiro mês, você paga 300 reais. No segundo mês, você pega emprestado mais 100 reais. No oitavo mês, você decide quitar o empréstimo. Quanto foi seu último pagamento?

Para os 500 reais que pegou emprestado:
M_1 = 500(1 + 0,01)^8
M_1 = 541,43
Este é o valor que os 500 reais teriam oito meses depois.

Para os 300 reais que pagou:
M_2 = 300(1 + 0,01)^7
M_2 = 321,64
Este é o valor que os 300 reais do primeiro mês teriam no oitavo mês.

Para os 100 reais que pegou emprestado:
M_3 = 100(1 + 0,01)^6
M_3 = 106,15
Este é o valor que os 100 reais do segundo mês teriam no oitavo mês.

Portanto, sua dívida no oitavo mês seria:
M = M_1 - M_2 + M_3
M = 325,94
Este foi o seu último pagamento.

Note que o pagamento representa uma subtração do valor devido.

Taxas equivalentes

Até aqui, usamos apenas taxas de juros mensais. Na realidade, matematicamente, as taxas podem ser de qualquer tipo: diárias, mensais, anuais etc.

Um banco oferece um empréstimo a uma determinada taxa anual de juros, capitalizados mensalmente. Na prática, a taxa de juros efetiva é calculada com base no período de capitalização. A taxa anual então é chamada taxa nominal, pois não é relativa ao período de capitalização. No entanto, podemos calcular uma taxa anual equivalente à taxa efetiva mensal. Por serem equivalentes, as duas serão consideradas efetivas.

Vamos a um exemplo:

Um banco oferece um empréstimo a uma taxa anual de juros de 12%, capitalizados mensalmente.

Temos que a taxa nominal é de 12% ao ano.
A taxa mensal efetiva é de 12% / 12 = 1%.
Ao final de um ano, temos:
M = C(1 + 0,01)^{12}
M = C(1,1268)
Podemos reescrever a equação:
M = C(1 + 0,1268)^1
Assim, podemos dizer que uma taxa mensal de 1% equivale a uma taxa anual de 12,68%.
A taxa anual efetiva é de 12,68%.
Daí, podemos ver que tanto faz pegar uma quantia emprestada por uma taxa de 1% ao mês ou 12,68% ao ano. Estamos fazendo a mesma conta.

O exemplo mostra que, quando as unidades de tempo do período de capitalização e da taxa de juros nominal são diferentes, existe uma diferença entre a taxa nominal e a taxa efetiva.

Se a capitalização fosse anual, assim como a taxa nominal, não haveria diferença entre as taxas nominal e efetiva:

Um banco oferece um empréstimo a uma taxa anual de juros de 12%, capitalizados anualmente.

As taxas nominal e efetiva são ambas iguais a 12%.
Para calcular a taxa mensal efetiva, calculamos a taxa equivalente, que resulta no mesmo montante:
C(1 + 0,12)^1 = C(1 + j)^{12}
1,12 = (1 + j)^{12}
1,0095 = 1 + j
j = 0,0095 = 0,95%
Portanto, uma taxa de 12% ao ano equivale a uma taxa de 0,95% ao mês. Consequentemente, visto que a taxa de 12% ao ano é uma taxa efetiva, a taxa de 0,95% ao mês também é uma taxa efetiva.

De forma geral, podemos calcular as taxas equivalentes igualando os montantes resultantes de cada taxa.

No exemplo seguinte, vamos determinar quanto tempo será necessário para triplicar o valor de um investimento. Embora, na prática, os juros não sejam capitalizados a cada minuto, o exemplo serve para ilustrar as conversões de unidades e exercitar a resolução de problemas envolvendo a quantidade de tempo necessária na multiplicação de capital.

Um investimento apresenta rendimento nominal de 10% ao mês, com juros capitalizados a cada minuto. Quanto tempo é necessário para triplicar um capital investido?

Temos:
M = C(1 + i)^t

Para começar, precisamos converter 10% ao mês em uma taxa referente ao período de capitalização.

A quantidade de minutos em um mês com 30 dias é:
30*24*60 = 43200 minutos

A taxa de juros por minuto será:
0,10 / 43200 = 0,00000231481

Queremos dobrar o capital, então temos:
M = 3C

Logo:
3C = C(1 + i)^t
3 = (1 + i)^t
3 = (1 + 0,00000231481)^t
ln(3) = t*ln(1,00000231481)
t = ln(3) / ln(1,00000231481)
t = 474602,045201 minutos = 329,58 dias

Neste cenário, não é necessário nem 1 ano para triplicar o capital investido.

A partir do que vimos até aqui, podemos reforçar uma ideia:

A promessa de pagar um valor no futuro não vale o mesmo valor no presente.

O fato é que, nesse meio tempo, um investidor poderia aplicar o dinheiro, e, para piorar, a inflação iria corroer o valor do dinheiro.

Exemplo:

Você fica sabendo, no final do ano, que vai ganhar 30.000 reais de PLR da empresa onde trabalha. Porém, a empresa irá pagar o valor apenas no final de junho do ano seguinte. Com tal prática, a empresa poderia estar investindo no seu lugar.

Se você tivesse recebido o dinheiro no final do ano, e pudesse aplicá-lo a uma taxa de juros de 2% ao mês, você teria:
M = C(1 + i)^t
M = 30000(1 + 0,02)^6
M = 33784,87

Como a empresa ainda vai pagar 30.000 reais para você, você estará com 30.000, sendo que poderia ter 3.784,87 a mais.

Vamos calcular o valor que seria equivalente aos 30.000 reais no final de junho:
M = C(1 + i)^t
30000 = C(1 + 0,01)^6
C = 28.261,36
Este é o valor que, investido por 6 meses, teria o valor de 30.000 reais. Assim, vemos que receber 30.000 reais em junho é o mesmo que ter recebido 28.261,36 reais em dezembro. Em dezembro, a diferença é menor, mas, devido aos juros que poderiam ter sido ganhos durante os seis meses, a diferença se torna maior em junho.

Como o valor presente e o valor futuro são convertidos de um para o outro com frequência, podemos usar uma equação alternativa:
C = M(1 + i)^{-t}
Temos:
(1 + i)^{-t} = ((1 + i)^{-1})^t
Então podemos fazer uma simplificação:
v = (1 + i)^{-1}
C = M * v^t

Por exemplo, para uma taxa de juros i=0,25, temos v=0,8.

Vamos a outro exemplo.

Você ganhou hoje um prêmio no valor de 1.000.000,00 reais. No entanto, o prêmio será pago em 5 parcelas de 200.000, sendo a primeira hoje, e depois uma parcela por ano. Assuma que você poderia investir o dinheiro a uma taxa de 8% ao ano. Qual é o real valor do prêmio nos dias atuais?

C = M(1 + i)^{-t}
O primeiro pagamento, por ter sido pago imediatamente, vale 200.000 reais nos dias atuais.
C_1 = 200000(1 + i)^0
C_1 = 200000
Calculando o valor do segundo pagamento nos dias atuais:
C_2 = 200000*1,05^{-1}
C_2 = 190.476,19
Calculando o valor do terceiro pagamento nos dias atuais:
C_3 = 200000*1,05^{-2}
C_3 = 181.405,90
Calculando o valor do quarto pagamento nos dias atuais:
C_4 = 200000*1,05^{-3}
C_4 = 172.767,52
Calculando o valor do quinto pagamento nos dias atuais:
C_5 = 200000*1,05^{-4}
C_5 = 164.540,49

Portanto, o valor real do prêmio nos dias atuais é:
C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5
C = 909.190,10

Em breve, iremos abordar séries de pagamentos.

Se encontrarem quaisquer erros, desde já agradeço pela notificação.