Regra do quociente
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Regra do quociente
por JpGonçalves_2020 Sex 29 Dez 2023, 14:38
Determine a derivada de [latex]f(x) = \frac{sen(x) + cos(x)}{sen (x) - cos (x)}[/latex].
Minha dúvida é no numerador, após a aplicação da regra do produto. Ao subtrair, encontro-o de forma distinta ao do gabarito e, consequentemente, não chego ao gabarito. Provavelmente deve ser algum descuido, o qual não estou notando. Se alguém puder me ajudar, ficarei mui grato!
- Gabarito:
- [latex]f'(x) = \frac{2}{sen(2x)-1}[/latex]
Minha dúvida é no numerador, após a aplicação da regra do produto. Ao subtrair, encontro-o de forma distinta ao do gabarito e, consequentemente, não chego ao gabarito. Provavelmente deve ser algum descuido, o qual não estou notando. Se alguém puder me ajudar, ficarei mui grato!
Última edição por JpGonçalves_2020 em Ter 09 Jan 2024, 00:19, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Correção do Gabarito.)
JpGonçalves_2020- Recebeu o sabre de luz
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Re: Regra do quociente
por gsr_principiamathematica Sex 29 Dez 2023, 15:27
A regra do quociente é expressa por:
[latex](\frac{p(x)}{g(x)}){}'=\frac{{p}'(x)\cdot g(x)-{g}'(x)\cdot p(x) }{(g(x))^{2}}[/latex]
Lembre-se que [latex]{(sin(x))}'=cos(x);{(cos(x))}'=-sin(x)[/latex]
Então dada a [latex]f(x)[/latex] da sua dúvida, temos que:
[latex]{f}'(x)=\frac{(cos(x)-sin(x))(sin(x)-cos(x))-(cos(x)+sin(x))(sin(x)+cos(x))}{(sin(x)-cos(x))^{2}} [/latex]
[latex]{f}'(x)==\frac{-((sin(x)-cos(x))^{2}+(sin(x)+cos(x))^{2})}{sin^{2}(x)-2sin(x)cos(x)+cos^{2}(x)} [/latex]
Sabemos que [latex]sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1[/latex] e [latex]sin(2x)=2sin(x)cos(x)[/latex]
Então [latex]{f}'(x)=\frac{-(1-2sin(x)cos(x)+1+2sin(x)cos(x))}{1-2sin(x)cos(x)}=\frac{2}{2sin(x)cos(x)-1}[/latex]
[latex]\therefore {f}'(x)=\frac{2}{sin(2x)-1}[/latex]
[latex](\frac{p(x)}{g(x)}){}'=\frac{{p}'(x)\cdot g(x)-{g}'(x)\cdot p(x) }{(g(x))^{2}}[/latex]
Lembre-se que [latex]{(sin(x))}'=cos(x);{(cos(x))}'=-sin(x)[/latex]
Então dada a [latex]f(x)[/latex] da sua dúvida, temos que:
[latex]{f}'(x)=\frac{(cos(x)-sin(x))(sin(x)-cos(x))-(cos(x)+sin(x))(sin(x)+cos(x))}{(sin(x)-cos(x))^{2}} [/latex]
[latex]{f}'(x)==\frac{-((sin(x)-cos(x))^{2}+(sin(x)+cos(x))^{2})}{sin^{2}(x)-2sin(x)cos(x)+cos^{2}(x)} [/latex]
Sabemos que [latex]sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1[/latex] e [latex]sin(2x)=2sin(x)cos(x)[/latex]
Então [latex]{f}'(x)=\frac{-(1-2sin(x)cos(x)+1+2sin(x)cos(x))}{1-2sin(x)cos(x)}=\frac{2}{2sin(x)cos(x)-1}[/latex]
[latex]\therefore {f}'(x)=\frac{2}{sin(2x)-1}[/latex]
gsr_principiamathematica- Iniciante
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Re: Regra do quociente
por JpGonçalves_2020 Sáb 06 Jan 2024, 18:59
Corrigirei aqui. Obrigado, @gsr_principiamathematica! 
JpGonçalves_2020- Recebeu o sabre de luz
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