|Análise Combinatória| - Soma de Massas de Bolinhas

Considere um conjunto com 100 bolinhas distintas: uma de 1 g, uma de 2 g, uma de 3 g e assim por diante, até uma última de 100 g. Deseja-se selecionar três bolinhas, obrigatoriamente distintas, de modo que a soma de suas massas seja igual a 120 g. 

Quantos conjuntos de três bolinhas satisfazem a condição acima?

A) 941
B) 1060
C) 1105
D) 1317
E) 2031

GABARITO: Alternativa B.

Imagine que você tenha várias bolinhas de massinha de 1g. Significa que, se você reunir 16 bolinhas dessa, você formaria uma bolinha de 16g. A pergunta pode mudar para: tenho três baldes (A, B e C) e 120 bolinhas de massinha, de quantas formas posso dispô-las nesses baldes tendo em mente que:
1. Um balde contém entre 1 e 100 bolas; e
2. Dois baldes quaisquer não contêm o mesmo número de bolas?

Então, vale A + B + C = 120. Se os baldes têm pelo menos uma, eu trabalho com A + B + C = 117 (já fixando uma em cada balde). O número de soluções inteiras não negativas é C(117+2,2) = C(119,2) = 119.118/2 = 7021.
Porém, nesse valor, também conto as em que um dos baldes têm pelo menos 100 bolas. Fazendo, por exemplo, A' = 100 + A (que já não é nulo, então com certeza A' ≥ 101), a equação se torna A' + B + C = 17, que tem C(17+2,2) = C(19,2) = 171 soluções. Esse mesmo pensamento vale para B' e C' (quando ultrapassam 100) => 3 . 171 = 513 casos a desconsiderar.
Com a última desconsideração, com certeza eu sigo a regra 1, mas a regra 2 não está de acordo, porque ainda conto o caso 100, 10, 10, por exemplo, então, façamos A = B e descontemos esses casos: 2A + C = 120. Como são naturais, 2A e 120 são pares => C é par => C = 2C' => A + C' = 60. O valor máximo para C' é 50 (afinal C ≤ 100 => C' ≤ 50), o que me leva a A = 10 no mínimo. Isso decresce até B' = 1 => A = 59, que é possível, logo há 50 valores (de 1 a 50) que devem ser descontados. Isso também vale para A = C e B = C, ou seja, são 3 . 50 = 150 a serem descontados.
Por fim, nos acabamos descontando demais! É o caso A = B = C = 40. Descontamos ele três vezes ao todo (uma vez quando A = B, uma quando B = C e uma quando A = C), mas só precisamos descontar uma, logo somamos 2 ao valor.
A resposta parece ser 7021 - 513 - 150 + 2 = 6360, porém a ordem entre os baldes não importa. Estamos contando seis vezes a solução 1, 2, 117 (em cada uma das suas permutações), logo a resposta é: 6360/6 = 1060.