Determine f bijetora e sua inversa

Boa noite. A função dada é uma parábola, trazendo a sua equação para um formato mais típico:
[latex] f(x) = (x+1)^2 - 2 = x^2 +2x-1 [/latex]
Queremos que a função seja bijetora, logo, deve ser injetora e sobrejetora.
I) Injetora: Precisamos que para x1 e x2 diferentes do domínio, a imagem seja diferente. Como o gráfico é uma parábola e seu gráfico é espelhado em relação ao eixo de simetria, para que não ocorram imagens iguais devemos cortar a parábola no seu vértice e escolher apenas um lado.
Encontrando o x do vértice:
[latex] x_v = \frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.1}=-1 [/latex]
Ou seja, se escolhermos de -∞ até -1 ou de -1 até +∞ a função será injetora.
[latex] D(f)=(-\infty , -1] \: ou \: [-1, +\infty) [/latex]
II) Sobrejetora: Agora no conjunto imagem todos os valores devem possuir um x correspondente no domínio. O menor valor da função ocorre no x do vértice:
[latex] f(-1)=(-1)^2+2(-1)-1=-2 [/latex]
Portanto, o gráfico da função possui imagens a partir de y = -2 até +∞, então o conjunto imagem deve ir de -2 até +∞.
[latex] Im(f) = [-2, +\infty) [/latex]
Encontrando a sua inversa:
[latex] x = y^2+2y-1\rightarrow y^2+2y-(1+x)=0
\therefore y = \frac{-2\pm \sqrt{4 +4(1 + x)}}{2}  \rightarrow y = -1 \pm \sqrt{2 + x} [/latex]
Veja que temos duas opções, devemos relacionar com as possibilidades do domínio:
Se [latex] D(f)=(-\infty , -1] [/latex], a imagem da inversa deve ser igual ao conjunto mencionado, portanto, a sua equação deve ser [latex] y = -1 - \sqrt{2 + x} [/latex], essa possibilidade não existe nas alternativas.
Agora, se [latex]  D(f)= [-1, +\infty) [/latex], a imagem da inversa deve ser igual a este conjunto, logo, a sua equação deve ser [latex] y = -1 +\sqrt{2 + x} [/latex], que bate com a última alternativa.
É possível visualizar graficamente a função com a sua inversa, veja que, como sempre ocorre, elas são espelhadas em relação à equação y = x.