Leis de newton (Trajetórias Circulares)

Em uma barra leve, fixaram-se dois pesos de massas m e M. A barra, através de uma articulação, está ligada ao eixo vertical OO’. O eixo OO’ gira com velocidade angular ω. Determine o ângulo formado pela barra e a vertical.



(agradeço desde de já)

Vamos calcular o centro de massa da barra para facilitar o trabalho.
\[d=\frac{mb+M(a+b)}{m+M}\]
Desdobremos agora o problema em suas componentes vertical e horizontal.

Horizontal. Aplicando a segunda lei de Newton, lembrando que a aceleração é centrípeta.
\[T\sin\theta=(m+M)a_\text{c}=(m+M)d\omega^2\]
onde \(d\) é distância o ponto \(O\) ao centro de massa, como calculamos acima.

Vertical. Para que haja equilíbrio, a componente vertical da tração deve ser igual ao peso.
\[T\cos\theta=(m+M)g\]
O problema pede o ângulo, então vamos dividir as equações para chegarmos à tangente.
\[\frac{T\sin\theta}{T\cos\theta}=\frac{(m+M)d\omega^2}{(m+M)g}\]
\[\tan\theta=\frac{d\omega^2}{g}\]
\[\theta=\arctan\left(\frac{d\omega^2}{g}\right)\]
Substituindo \(d\) por suas componentes originais.
\[\color{red} \theta=\arctan\left(\frac{mb\omega^2 + M(a+b)\omega^2 }{(m+M)g}\right)\]