Números Complexos

Ache todos os números complexos z tais que (3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2

Luis

É bastante trabalhoso

Faça z = a + bi
Substitua na equação e efetue o 1º membro
Separe o resultado numa parte real e parte imaginária ----> p + qi = 2 onde p, q são funções de a,b

Monte agora duas equações:

p = 2
q = 0

Basta agora resolver o sistema de 2 equações com 2 incógnitas (a, b)

Olá Élcio,

1 - Iria dar uma equação com a^4 ?
2 - Não teria uma outra maneira de se resolver ? Alguma estratégia ?

Luis

Outro modo seria colocar z na forma trigonométrica -----> z = |z|*(cosT + i*senT).
Mesmo assim dá muito trabalho
Vamos esperar e ver se algum colega do fórum dá alguma sugestão.

Élcio,

Meu professor resolveu essa questão, a solução dele é muito interessante:

(3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2



---

Observe:

6*4 = (5 + 1)(5 - 1) = 5² - 1²
5*7 = (6 - 1)(6 + 1) = 6² - 1²

...



(3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2

(Multiplica o primeiro por 4)

(12z + 4)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2*4

(Multiplica o segundo por 3)

(12z + 4)(12z + 3)(6z + 1)(12z + 1) = 2*4*3

(Multiplica o terceiro por 2)

(12z + 4)(12z + 3)(12z + 2)(12z + 1) = 2*4*3*2


x = 12z + 1


x*(x + 1)*(x + 2)*(x + 3) = 48

x*(x + 3) = x² + 3x
(x + 1)*(x + 2) = x² + 3x + 2



(x² + 3x)(x² + 3x + 2) = 48
(x² + 3x + 1 - 1)(x² + 3x + 1 + 1) = 48

(x² + 3x + 1)² - 1² = 48
(x² + 3x + 1)² = 49

x² + 3x + 1 = +7 ou - 7

Depois é só resolver e substituir e achamos os valores de z.

Legal né ?

Luis

Questão interessantíssima e solução perfeita.
Acho que ela merece constar das "Questões Fora de Série de Matemática".
Sugiro que você coloque.

Vou colocar, realmente muito interessante. Obrigado pela ajuda Élcio. Abraço.