fórmula de Euler+identidade de Euler.

neste espaço, vou demonstrar a fórmula de Euler, requisito para a compreensão da identidade de Euler que será demonstrado após aquela.
é necessário a compreensão plena de números complexos e um pouco de cálculo, então vamos lá:
a formula que vamos demonstrar é:

começando supondo que todos nós temos pleno conhecimento da fórmula polar onde
 tal que z é complexo, r=modulo de z onde 
 para {a,b} pertencentes a R (z ={a,b}) pois os complexos = R x R logo o conjunto dos complexos pode ser escrito(isomorfo) a RxR.
e theta em argumento de z.
então temos a seguinte formula para o numero e^(ix) sendo i^2=-1 com r=r(x) e theta=theta(x)
eq(I) multiplicamos por i 
 guardemos por enquanto como eq(II)


voltamos à eq(I) vamos definir as derivadas:
 ;  e a derivada de e^(ix)=i.e^(ix) 
derivando eq(I) temos(lembre da regra da cadeia):
d(cos)=-sen d(sen)=cos
 eq(III)
sabemos que eq(II)=eq(III) e que esses números complexos para serem iguais devem possuir a mesma parte real e a mesma parte imaginária, logo igualamos a parte real e a imaginária de um à do outro:

 parte real eq(R)
    parte imaginária eq(T) 

agora multiplicamos a parte real por (cos(theta)) e a imaginaria por (sen(theta) e somamos, sabendo que cos^2+sen^2=1
resolvendo esse sistema teremos que r'(x)=0, substituindo isso na eq(T) deduzimos que:
 com r'(x)=0 e theta'(x)=1 vamos integrar essas duas, integramos r'(x)=0 (uma função constante) r(x)=c
integramos theta'(x)=1 , theta(x)=x+d
 sendo c e d uma constante.
supondo x=0 :
 portanto:
 sabemos que a parte real=1 e a parte imaginaria =0 pela igualdade mostrada na equação.

                                                    elevamos as duas ao quadrado e somamos
                                             
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, sen^2+cos^2=1 temos r(o)=+/-1 como r é um vetor r>=0 logo r(0)=1 
tendo r(x)=c, r(0)=c, c=1. r(x)=1
lembre-se que : 
no sisteminha acima com r(0)=1 temos
é fácil notar que 
sendo theta(x)=x+d, theta(0)=0+d, d=0 e portanto theta(x)=x
lembrando a Eq(I)
 substituindo r(x) e theta(x)
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provada a formula de Euler, supondo 


portanto

,por fim.