Triângulo equiátero

por Marcos Sex 18 Mar 2011, 11:13

Na figura abaixo,calcule o lado do triângulo equilátero [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem],sabendo que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem],[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] e [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

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Spoiler:

por Luck Sáb 19 Mar 2011, 15:34

estranho, to achando V61. LOL

por **luiseduardo** Sáb 19 Mar 2011, 18:08

Eu tentei resolver, mas não sei se está correto, pois não dá essa resposta, apenas um valor aproximado:

Área do triângulo total: S = l².sen 60/2

Área do triângulo 1 (interno): 5*3*sen a/2
Área do triângulo 2 (interno): 5*4*sen b/2
Área do triângulo 3 (interno): 3*4*sen f/2

A razão entre a área e o lado é:

S1/S2 = l²/l²

S1 = S2 = S3

Assim,

S1 + S2 + S3 = S

3*S1 = S

3*15*sen a = l².sen 60

l² = 3*3*5

l = 3V5 =~ 6,708203 cm

Já o gabarito da resposta é de aproximadamente: 6,7664... cm

Alguém pode ajudar ?

por Luck Sáb 19 Mar 2011, 19:04

Olá luis, pq S1=S2=S3 ? Qdo eu tentei fiz de 2 modos ambos deram V61..

por Luck Dom 20 Mar 2011, 00:44

pq S1=S2=S3 ?

por **luiseduardo** Dom 20 Mar 2011, 00:53

Eu ainda não tenho certeza dos meus cálculos, já que considerei os triângulos semelhantes (e talvez não sejam)

Essa é uma relação entre área e lado de um triângulo:

S1/S2 = l1²/l2²

Agora não sei se será útil, mas nesse tipo de questão nós podemos provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer no interior do triângulo até cada um dos lados é um valor constante.

por Jeffson Souza Dom 20 Mar 2011, 16:22

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Considere um ponto Q externo ao triângulo,tal que AQ=3 e BQ=5.Note que o triângulo PAC é igual ao triângulo QAB.Então o triângulo PQA é Equilátero.

Logo,APQ=60°.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo PBQ ,temos.

25=16+9-2*4*3*cosα
cosα=0
cosα=90°

Pela Trigonometria sabemos que cos(a+b)=cosa*cosb-sena*senb

cos(60°+90°)=cos60°*cos90°-sen60°*sen90°=(0*1/2)-(1*√3/2)=-√3/2

Aplicando novamente a lei dos cossenos no triângulo PAB encontraremos o Desafio.

x²=16+9-2*3*4*-√3/2

x²=25+12√3

x=√(25+12√3)cm

por **luiseduardo** Dom 20 Mar 2011, 17:10

Muito bom Jeffson, mas não entendi o por que a distância do ponto P até Q é 3 cm ? (Sem saber o valor do ângulo)

por Jeffson Souza Dom 20 Mar 2011, 17:13

Eu expliquei o porque. veja:

Considere um ponto Q externo ao triângulo,tal que AQ=3 e BQ=5.Note que o triângulo PAC é igual ao triângulo QAB.Então o triângulo PQA é Equilátero.