Desigualdade das médias (outra)

Antes de qualquer coisa, gostaria de sugerir o post do amigo Ashitaka: https://pir2.forumeiros.com/t84779-a-desigualdade-das-medias

Compartilho com os amigos do fórum a seguinte imagem: 


Fonte: https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words/24828#24828

Deixo também a explicação  

Explicação:

Gosto muito da ideia de demonstrações visuais porém, como provar que a área daquele triângulo inscrito (o de altura HM) é x.y ?

Em outras palavras: de posse dos números reais "x" e "y" posso traçar o semicírculo mas onde, no seu diâmetro, devo levantar a perpendicular para obter a HM ?

Mestre, acredito que o responsável por essa imagem apenas escolheu o triângulo inscrito cuja área é xy. Mas é algo interessante para se pensar sobre.

Olá Medeiros! Há quanto tempo!
Antes das minhas curtas "férias"(nunca paro), eu tive que realizar um trabalho sobre os gregos e sua matemática. A minha visão em relação a tal disciplina mudou muito a partir disto,principalmente em relação à geometria que ouso dizer ser uma das mais belas áreas da matemática.
Inspirado por tal, aprofundei meus conhecimentos em geometria.
Chega de papo furado...

É fácil ver que esta circunferência inscrita no triângulo retângulo possui centro no ponto onde ocorre a concorrência de suas bissetrizes.  Há uma propriedade que permite calcular os segmentos delimitados por um dos vértices e a base do segmento perpendicular a uma lado que termina no centro(o raio). Na imagem representei apenas o H mas há outros 2 pontos:
Não consegui carregar a imagem. Depois coloco.

Tal propriedades diz que x será igual a (p-b). p é o semi perímetro.
Fazendo xy obtemos (p-a)(p-b).
Desenvolvendo chegamos em ab, que é a área falada.

Até!