Crazy Turtles - Questão clássica de Cinemática Vetorial

Postado originalmente pelo Euclides numa página extra.

Luis Eduardo Háteras escreveu:"Crazy Turtles" é um clássico problema de cinemática apresentado por diversos livros que mostram tartarugas com o mesmo módulo da velocidade movendo-se uma em direção à outra. Geralmente, o enunciado dessas questões pede para descobrir após quanto tempo as tartarugas irão se encontrar e qual a distância percorrida por cada uma.
Por que eu deveria aprender a resolver esse tipo de problema? Em que ele poderia me ser útil? Isso é coisa de livro russo e nunca vai cair em prova de ITA ou IME.

É nessa mentalidade que muitos deixam esse problema de lado e acabam errando uma questão simples que pode cair em qualquer prova de vestibular ou escola militar. Um exemplo dessa questão caiu na prova de física do ITA de 2011. Trata-se de uma questão simples que qualquer pessoa pode resolver desde que saiba o básico de cinemática.
Dessa forma, resolveremos algumas questões que poderão ajudá-lo a compreender a situação proposta nesse problema de cinemática vetorial.

Questão 1: (Saraeva) Quatro tartarugas encontram-se nos cantos de um quadrado de lado a. Simultaneamente, elas começam a se movimentar com uma velocidade constante de grandeza v, sendo que a primeira se dirige em direção à segunda, a segunda em direção à terceira, a terceira em direção à quarta e a quarta em direção à primeira.

a) após quanto tempo as tartarugas vão se encontrar?
b) qual é a distância percorrida por uma tartaruga qualquer nesse episódio?

Resolução: a melhor coisa a fazer é desenhar um quadrado indicando como pontos nos vértices, as tartarugas.




Essa é a imagem das tartarugas (bolinhas) com velocidade v. Mas o estudante pergunta: Será que é mesmo possível elas se encontrarem?

Sim, será possível. Em caso de elas se encontrarem isso deverá acontecer no centro do quadrado. (pelo menos teoricamente)

Bom é geralmente nessa parte que alguns estudantes começam a se complicar.

Veja essa outra figura:



Perceba que podemos decompor a velocidade v em duas componentes: Vr = velocidade radial e Vt = velocidade tangencial.

Cada tartaruga se move radialmente em direção ao centro do quadrado inscrito na circunferência com velocidade

Isto é, sua circunferência vai atrofiando até ser reduzida ao seu centro.

O quadrado gira sobre a circunferência de raio R decrescente. No final, quando a circunferência atingir o centro, as tartarugas terão se encontrado.

Agora o problema ficou simples, como as tartarugas vão se encontrar no centro, então, precisamos analisar o caso da velocidade radial e a distância da tartaruga ao centro. Como o lado do quadrado é a, então, seu diâmetro é , mas como a distância percorrida pela tartaruga é o raio da circunferência podemos dizer que a distância percorrida é , pois o raio é a metade do diâmetro. Agora só usar a fórmula que já conhecemos:



Questão 2: (Fundamentos de Mecânica – Vol 1 – Renato Brito) Três tartarugas encontram-se nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado L. Simultaneamente, elas começam a se movimentar com uma velocidade V, sendo que a primeira se dirige para a segunda, a segunda a terceira e a terceira a primeira.

a) Após quando tempo as tartarugas vão se encontrar?

b) Qual a distância percorrida por uma tartaruga qualquer nesse episódio?

Resolução: Essa questão é similar a primeira que resolvemos, mas nesse caso é um triângulo eqüilátero. Como as tartarugas têm que se encontrar no centro do triângulo, logo deve ser em seu baricentro.

O movimento de cada tartaruga é a composição dos movimentos: radial e tangencial. Como na questão anterior, precisamos apenas nos interessar pela velocidade radial (em direção ao baricentro do triângulo). Basta ver a figura:



O que ocorre é que a circunferência vai se reduzindo até ficar no baricentro do triângulo. O triângulo vai girando sobre uma circunferência de raio x decrescente. Assim, no final as tartarugas irão se encontrar no baricentro.

Logo, basta achar a velocidade radial e calcular:




a distância percorrida será



Questão 3: (ITA-2011) Um problema clássico da cinemática considera objetos que, a partir de certo instante, se movem conjuntamente com velocidade de módulo constante a partir dos vértices de um polígono regular, cada qual apontando à posição instantânea do objeto vizinho em movimento. A figura mostra a configuração desse movimento múltiplo no caso de um hexágono regular. Considere que o hexágono tinha 10,0 m de lado no instante inicial e que os objetos se movimentam com velocidade de módulo constante de 2,00 m/s. Após quanto tempo estes se encontrarão e qual deverá ser a distância percorrida por cada um dos seis objetos ?

A) 5,8 s e 11,5 m

B) 11,5 s e 5,8 m

C) 10,0 s e 20,0 m

D) 20,0 s e 10,0 m

E) 20,0 s e 40,0 m

Resolução: Não colocamos a figura do enunciado, mas nada mais é que um hexágono regular. Como podemos ver, trata-se de uma questão conhecida e que já caiu na primeira questão da prova de física do ITA de 2011. Iremos fazer o mesmo que fizemos nas questões anteriores:



O encontro das tartarugas será no centro. Devemos achar o valor de x, mas sabemos que temos 6 triângulos equiláteros de lado L, logo, x = L.



Substituindo os valores achamos:



Agora a distância percorrida será:



Logo, resposta: item C

Agora, você estará pronto para resolver diversos problemas similares !!!

Referências

- Saraeva, I.M. Problemas selecionados de Física Elementar, editora UNTS-DO, Moscou.
- Brito, Renato. Fundamentos de Mecânica Vol 1, editora Vestseller
- Fórum Momentum: http://momentum21.forumeiros.com/