A relatividade de Galileu: Mudanças de referencial (1)

Postado originalmente pelo Euclides numa página extra.

Você provavelmente já viveu a experiência de se encontrar em um veículo (trem ou automóvel) em movimento num momento em que outro veículo se emparelha com o que você está. Você olha para o lado e vê o outro imóvel, lado a lado.

Da mesma maneira, um veículo que vem em sentido oposto ao seu passa por você muito mais rapidamente que outro que o ultrapassa vindo por trás, no mesmo sentido.

Quando uma ambulância com a sirene ligada, em velocidade, passa, você tem a sensação que o som emitido pela sirene aumenta de frequência à medida em que se aproxima e reduz a frequência enquanto se afasta.

Tudo isso envolve a questão do referencial e do movimento relativo. Toda a cinemática e os movimentos relativos foram estudados pelo físico, astrônomo e matemático florentino Galileu Galilei (1546 - 1642).

Pré-Requisitos para a relatividade de Galileu

Para o estudo dos movimentos e, consequentemente da relatividade dos movimentos, é necessário apoiar-se solidamente nos conceitos de referencial, vetores e adição de vetores.

Um referencial é um sistema de coordenadas no qual está localizada a posição a partir da qual se realizam observações e medidas. Podemos considerar referenciais unidimensionais (como uma reta), bidimensionais (como um plano) ou tridimensionais (como um espaço em R3), conforme a situação exija.

Vetores são entidades matemáticas que expressam grandezas que, além de serem caracterizadas por uma medida de intensidade (comprimento, temperatura, massa, etc), requerem, para seu total entendimento, uma referência de direção e sentido em que se manifestam, como são velocidade, força, quantidade de movimento etc.

A adição de vetores

As grandezas escalares (não vetoriais) operam matematicamente com as regras aritméticas da adição, subtração, multiplicação e divisão. Para as operações com vetores isso não será suficiente.

Uma grandeza vetorial possui uma intensidade que identifica o seu tamanho por um número que é acompanhado por uma unidade de medida, por exemplo 30 km/h. O valor absoluto desse número é chamado de módulo do vetor.

Além disso uma grandeza vetorial, velocidade, por exemplo, quando observada a partir de um referencial precisa ter sua direção e sentido também descritos. Um automóvel viajando a 80km/h numa estrada tem dois destinos possíveis a depender de para que lado viaja.

A direção e o sentido do vetor podem ser dadas por notação em escrita verbal ou matemática ou graficamente.

Quando dizemos:

"um avião voa de leste para oeste..."
"um trem vai de São Paulo ao Rio de Janeiro..."
" um ciclista se desloca do km 8 ao km 10..."

estamos fornecendo direção e sentido.

A notação matemática envolve o sistema de coordenadas considerado. Os sistemas mais usados são o cartesiano e o polar.

Notação no sistema cartesiano

Os sistemas cartesianos adotam um, dois ou três eixos, usualmente denominados x, y e z. O que faremos é associar a cada eixo um vetor unitário, isto é, um vetor que tenha a direção do eixo, seja orientado no sentido positivo do eixo e tenha módulo igual à unidade. Para evitar confusão com os nomes dos eixos esses vetores unitários, chamados versores, são representados pelas letras i, j e k, respectivamente.

Representamos os vetores por uma letra minúscula com uma pequena seta em cima: . Vejamos como representar vetores num sistema cartesiano:



O módulo (ou intensidade, tamanho) do vetor da figura acima é dado pela aplicação do teorema de Pitágoras:

Sua direção e sentido são dadas pelo coeficiente angular da reta que o suporta, ou seja, pelo ângulo que forma com o eixo horizontal no sentido anti-horário:



dessa forma ou, é um vetor perfeitamente caracterizado.

A notação Polar

Além do cartesiano, o sistema polar é comumente utilizado. Neste sistema o vetor é caracterizado por seu tamanho (módulo) e pelo ângulo que faz, no sentido anti-horário com o eixo horizontal:



Operando com vetores

1. Adição pela notação cartesiana

Neste caso basta somar as componentes dos vetores em cada versor:



note que adição e subtração são operações de mesma natureza.

2. Produto de um escalar por um vetor

Basta multiplicar cada componente:



3. Para a notação polar é conveniente operar graficamente:



Note que o uso do ângulo θ, entre os vetores modifica o sinal da lei dos cossenos que passa a ser positivo. Na lei dos cossenos normalmente utilizamos o ângulo oposto ao lado calculado.

Observe os casos particulares:

I. O ângulo entre os vetores é 180°: neste caso os vetores têm sentidos opostos,

II. O ângulo entre os vetores é zero: os vetores têm o mesmo sentido,