Energia Mecânica de um Sistema Binário Gravitacional

Publicado originalmente pelo Euclides numa página extra.

Uma aplicação da Mecânica Clássica ao estudo de sistemas astronômicos binários

1. Sistema binários gravitacionais

Um sistema binário é um sistema composto por dois corpos celestes que orbitam um centro de massa comum. Um sistema binário muito comum no Universo é aquele formado por duas estrelas, embora até mesmo galáxias possam ser binárias.



Tipicamente o binário é um sistema isolado não sujeito à ação de forças externas, mantido exclusivamente pela ação da interação gravitacional entre ambos os corpos.

O sistema orbita em torno de um centro de massa comum que ocupa uma posição no segmento de reta que une os dois astros, posição essa que dependerá das massas de ambos os corpos e que se pode calcular pela média ponderada das massas e suas posições, para o que é conveniente estabelecer um sistema de referência cuja origem pode ser o centro de massa de um dos corpos.



Sendo um sistema mecanicamente isolado sua energia mecânica é representada pela soma de suas energias potencial e cinética.

2- Calculando a Energia Mecânica do Sistema

Vamos usar a figura acima e, por simplicidade, faremos M=2m.



esse valor representa a energia potencial do sistema. Temos, em seguida que calcular a energia cinética do sistema devida às rotações e, para isso e a fim de evitar a dinâmica rotacional, vamos supor que as dimensões dos astros sejam irrelevantes diante da distância d, de modo que os consideraremos como partículas.

Cada um deles tem um raio de giro em relação ao CM do sistema. Aproveitaremos a expressão já mostrada acima:



portanto os raios de órbita são, para cada um deles, d/3 para o maior e 2d/3 para o menor



Podemos notar que a energia potencial do sistema será igual ao dobro da energia cinética em valor absoluto.



Assim, para separar o sistema, de modo que ambos permaneçam em repouso, será necessário leva-los a uma separação infinita cuja energia final será nula e a energia que deverá ser fornecida para isso terá o mesmo valor absoluto da energia mecânica de formação do sistema.