equação trigonométrica - questão mal formulada ?

por JohnnyC Dom 05 Jan 2020, 18:33

Relembrando a primeira mensagem :

Cefet - PR

A solução da equação trigonométrica sen(5x) + sen(x) /cos 3π = 1, com k E Z é:

ps: sen5x + senx é o numerador, e o cos 3pi é o denominador.

a) {x E Z / x = 2kπ + 7π/6 ou x = 2kπ + 11π/6}

b) {x E Z / x = 2kπ + π/6}

c) {x E Z / x = 2kπ + 5π/6}

d) {x E Z / x = 2kπ/3 + 7π/18 ou x = 2kπ/3 + 11π/18}

e) {x E Z / x = 2kπ/3 + π/18 ou x = 2kπ/3 + 5π/18}

R: d)

pessoal, eu só consegui chegar em sen5x + senx = -1. A partir daí não sei continuar. Alguém saberia ajudar ? obrigado.

por SnoopLy Ter 14 Jan 2020, 17:11

Não existe solução trivial, falta alguma coisa.

por marcos1911 Ter 05 Mar 2024, 21:04

Vamos a minha resolução.

[latex]\dfrac{\sin 5x +\sin x}{cos3\pi}=1[/latex]

Como [latex]cos3\pi=-1[/latex], então têm-se que

[latex]\sin 5x +\sin x=-1 (I)[/latex]

Utilizando a fórmula que transforma uma soma de dois senos em produto, chega-se a

[latex]2\sin 3x\cos 2x=-1[/latex]

Escrevendo [latex]\sin 3x=\sin (2x+x)[/latex]e utilizando a fórmula da soma dos senos de dois arcos, chega-se a seguinte expressão:

[latex]\sin 3x=3\sin x -4\sin^{3} x [/latex]

Como [latex]\cos2x = 1-2\sin^{2} x[/latex],substituindo a expressão do sen3x e do cos2x em (I), têm-se que

[latex](3\sin x -4\sin^{3} x )(1-2\sin^{2} x ) = -\frac{1}{2}[/latex]

[latex]8\sin^{5} x-10\sin^{3} x+3\sin x +\frac{1}{2} =0 [/latex]

Fazendo [latex] sin x =a[/latex],chega-se a seguinte equação do 5º grau

[latex]8a^{5} -10a^{3} +3a +\frac{1}{2} =0[/latex]

cujas soluções reais são [latex]a= -\frac{1}{2}, a\sim-0,18829 , a\sim-0,95387[/latex]

Como [latex] sin x =a[/latex], então

[latex]\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}+2k\pi[/latex] ou [latex] x = \frac{11\pi}{6}+2k\pi[/latex]

[latex]\sin x = -0,18829 \Rightarrow x \sim3,32877205+2k\pi[/latex] ou [latex]x \sim6,09378076+2k\pi[/latex]

[latex]\sin x = -0,95387 \Rightarrow x \sim4,24683691+2k\pi[/latex] ou [latex]x \sim5,46752479+2k\pi[/latex]

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