EDO com solução suprimida

por Guilherme F. Sousa Sáb 25 Nov 2023, 19:23

Seja y = f(x) uma solução constante do problema de valor inicial, associado a uma EDO de variáveis separáveis, dado por

| y' = 2y+18
| y(1) = y0

O valor de y0 é igual a:

(Solução suprimidas pelo Método de Separação de Variáveis) Fiquei com dúvida em relação a esse método de soluções suprimidas

por **Giovana Martins** Sáb 25 Nov 2023, 19:51

Penso que seja isto.

[latex]\mathrm{\frac{dy}{dx}=2y+18\to \int dx=\int \left ( \frac{1}{2y+18} \right )dy}[/latex]

[latex]\mathrm{u=2y+18\ \therefore\ dy=\frac{1}{2}du\ \therefore\ \int \left ( \frac{1}{2y+18} \right )dy=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{1}{u} \right )du=\frac{1}{2}ln(u)=\frac{1}{2}ln(2y+18)}[/latex]

[latex]\mathrm{ \int dx=\int \left ( \frac{1}{2y+18} \right )dy\to x=\frac{1}{2}ln(2y+18)+C_1\to ln(2y+18)=2x-C_2}[/latex]

[latex]\mathrm{2y+18=e^{2x-C_2}\to 2y+18=\frac{e^{2x}}{e^{C_2}}\to 2y+18=C_3e^{2x}\ \therefore\ y=Ce^{2x}-9}[/latex]

[latex]\mathrm{Sendo\ y(x=1)=y_0\ \therefore\ y_0=Ce^2-9=k-9,com\ k=Ce^2=constante}[/latex]

por Guilherme F. Sousa Sáb 25 Nov 2023, 20:15

Eu segui o mesmo caminho usando o método de um amigo e consegui chegar nesses resultados anexado. Mas aparentemente preciso saber o valor da constante para calcular o valor aproximado em 4 casas.

por **Giovana Martins** Sáb 25 Nov 2023, 20:18

Isso. O valor que você chegou é o mesmo que o meu.

O que você tem no caso é conhecido como problema de valor inicial (PVI) ou problema de Cauchy. No geral, nestes problemas são dados o valor de y0. Como y0 não foi dado, foi necessário indicá-lo em função da constante k.

por Guilherme F. Sousa Dom 26 Nov 2023, 11:39

Questionei o professor que nos passou o exercício e ele disse que deve ser feito utilizando soluções suprimidas pelo Método de Separação de Variáveis, nunca ouvi falar nesse método.

por **Giovana Martins** Dom 26 Nov 2023, 13:32

Sendo bem sincera, desconheço a nomenclatura. Vou dar uma procurada nos meus cadernos dessa matéria de quando eu estudei essa disciplina na faculdade. Dou um retorno.