Integral e áreas

por Dias_007 Ter 26 Dez 2023, 19:04

Na figura abaixo, estão representados a reta x= π /2, a reta horizontal y=L e o gráfico da função f(x) =cosx, com x ∈ [0, π /2].O valor de L para que as áreas das regiões A e B sejam iguais é: (a) 1/2 π (b) 1/π (c) 3/2π (d) 2/π (e) 5/2π
OBS:Estou sem o gabarito dessa,alguém pode me explicar?a imagem está anexada logo abaixo:

por **Giovana Martins** Ter 26 Dez 2023, 19:53

Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)=L\to cos(x)=L\ \therefore\ x=arccos(L)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ A=B\ \therefore\ \int_{0}^{arccos(L)}[cos(x)-L]dx=\int_{arccos(L)}^{\frac{\pi}{2}}[L-cos(x)]dx}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ sin(x)-Lx \right ]_{0}^{arccos(L)}=\left [ Lx-sin(x) \right ]_{arccos(L)}^{\frac{\pi }{2}}}\\\\ \mathrm{\sqrt{1-L^2}-Larccos(L)=\frac{-2Larccos(L)+2\sqrt{1-L^2}+\pi L-2}{2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{L=\frac{2}{\pi}}}}[/latex]

por **Giovana Martins** Ter 26 Dez 2023, 20:02

Um jeito um pouco mais fácil. Note que surgiu aquela raiz quadrada, pois eu indiquei o limite de integração como arccos(L), mas vamos fazer diferente, para que os cálculos fiquem mais fáceis. Seja x = k a abcissa do ponto de encontro entre as curva. Deste modo:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{k}[cos(x)-L]dx=\int_{k}^{\frac{\pi}{2}}[L-cos(x)]dx}\\\\ \mathrm{sin(k)-Lk=\frac{2sin(k)-2Lk+\pi L-2}{2}\ \therefore\ L=\frac{2}{\pi}}[/latex]

por Dias_007 Qua 27 Dez 2023, 16:49

Porque igualar a função cos x a L?qual é o objetivo disso?não compreendi

por **Giovana Martins** Qua 27 Dez 2023, 17:10

Ao fazer cos(x) = L eu estou igualando uma função à outra no intuito de encontrar a abscissa do ponto de encontro das funções. Por que que eu quero encontra essa abscissa? Justamente porque eu preciso desse valor para aplicar os limites de integração tendo em vista que 0 até arccos(L) a função cosseno está acima da reta y = L e de arccos(L) até pi/2 y = L está acima da função cosseno. Este também é o motivo pelo qual eu não posso calcular a integral diretamente de 0 até pi/2.

por Dias_007 Qua 27 Dez 2023, 17:18

Giovana Martins escreveu:

Ao fazer cos(x) = L eu estou igualando uma função à outra no intuito de encontrar a abscissa do ponto de encontro das funções. Por que que eu quero encontra essa abscissa? Justamente porque eu preciso desse valor para aplicar os limites de integração tendo em vista que 0 até arccos(L) a função cosseno está acima da reta y = L e de arccos(L) até pi/2 y = L está acima da função cosseno. Este também é o motivo pelo qual eu não posso calcular a integral diretamente de 0 até pi/2.

Perfeito!Obrigado Integral e áreas 503132