Equações diferenciais

por JOAODESOUSALUZ Sáb 13 Jan 2024, 21:04

Resolva a EDO y' = e^(y/x) + y/x

Encontrei duas soluções em sites de calculadoras gráficas (1) y = -xln((1/x)-c1) e (2) y=-xln(-lnx-c1)

A primeira não tinha passo a passo então, ainda estou meio na duvida, a segunda consegui entender, mas parece muito bizarro o resultado, será que não dá para simplificar?

por **Giovana Martins** Qui 18 Jan 2024, 22:41

A princípio, não sei dizer como surgiu a outra solução. Coloquei a equação no Wolfram por desencardo de consciência e ele só retornou como resposta a que eu indiquei abaixo, sendo ela uma das respostas que consta no seu gabarito.

[latex]\mathrm{Sendo\ a\ EDO\ \frac{dy(x)}{dx}=e^{\frac{y(x)}{x}}+\frac{y(x)}{x},tem-se:}[/latex]

[latex]\mathrm{Para\ y(x)=x\phi (x): x\frac{d\phi (x)}{dx}+\phi (x)=e^{\phi(x)}+\phi(x)\leftrightarrow \int \frac{1}{e^{\phi(x)}}\frac{d\phi(x)}{dx}dx=\int \frac{1}{x}dx}[/latex]

[latex]\mathrm{-e^{-\phi(x)}=ln(x)+k_1\ \therefore\ \phi(x)=-ln[-ln(x)+k],com\ k\ constante}[/latex]

[latex]\mathrm{Sendo\ y(x)=x\phi (x)\ \therefore\ y(x)=-xln[-ln(x)+k]}[/latex]

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