Equações diferenciais

por JOAODESOUSALUZ Qua 17 Jan 2024, 14:19

Resolva o PVI:

[latex]\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}= Ap^{\frac{2}{3}}-Bp,\\ p(0)= 0, \end{matrix}\right. onde AB \neq 0. Calcule \lim_{t\rightarrow \infty }p(t) [/latex]

por **Giovana Martins** Qui 18 Jan 2024, 18:27

Acredito que seja isto. Se houver dúvidas, avise.

[latex]\mathrm{\frac{dp}{dt}=Ap^{\frac{2}{3}}-Bp\to \int \left (\frac{1}{Ap^{\frac{2}{3}}-Bp} \right )dp=-\int \left [\frac{1}{\left (B\sqrt[3]{\mathrm{p}}-A \right )p^{\frac{2}{3}}} \right ]dp=t}[/latex]

[latex]\mathrm{u=B\sqrt[3]{\mathrm{p}}-A\ \therefore\ du=\frac{B}{3p^{\frac{2}{3}}}dp\ \therefore\ t=\int \left (\frac{1}{Ap^{\frac{2}{3}}-Bp} \right )dp=-\frac{3}{B}\int \frac{1}{u}du=-\frac{3ln\left (\left | B\sqrt[3]{\mathrm{p}}-A \right | \right )}{B}+C}[/latex]

[latex]\mathrm{Para\ p(0)=0:C=\frac{3ln\left (\left | -A \right | \right )}{B}\ \therefore\ t=-\frac{3ln\left (\left | B\sqrt[3]{\mathrm{p}}-A \right | \right )}{B}+\frac{3ln\left (\left | -A \right | \right )}{B}}[/latex]

[latex]\mathrm{\frac{Bt}{3}=ln\left ( \left | \frac{A}{A-B\sqrt[3]{\mathrm{p}}} \right | \right )\to \frac{A}{A-B\sqrt[3]{\mathrm{p}}}=e^{\frac{Bt}{3}} }[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore\ p(t)= \frac{A}{B}\left ( 1-e^{-\frac{Bt}{3}} \right ) \ \therefore\ \lim_{t\to \infty}p(t)=\lim_{t\to \infty}\left [ \frac{A}{B}\left ( 1-e^{-\frac{Bt}{3}} \right ) \right ]=\frac{A}{B}}[/latex]

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