Integral trigonométrica

É conta a perder de vista.

A propósito, utilizei Ostrogradski, porque aquela integral anterior a aplicação é tensa de resolver sem o método, mas dá para resolver também. Se quiser, depois posto algo sem ser por Ostrogradski.

[latex]\mathrm{Sejam\ sin(x)=\frac{tan(x)}{sec(x)},cos(x)=\frac{1}{sec(x)},sec^2(x)=tan^2(x)}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=\int \frac{sec^2(x)\left [tan^{\frac{7}{3}}(x)+\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}  \right ]}{tan^4(x)+2tan^3(x)+2tan^2(x)+2tan(x)+1}dx}[/latex]

[latex]\mathrm{Seja \ u=tan(x)\ \therefore\ du=sec^2(x)dx}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=\int \frac{u^{\frac{7}{4}}+\sqrt[3]{\mathrm{u}}}{u^4+2u^3+2u^2+2u+1}du}[/latex]

[latex]\mathrm{Seja\ t=\sqrt[3]{\mathrm{u}}\ \therefore\ dt=\frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}}du\ \therefore\ \int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=3\int \frac{t^3}{(t+1)^2(t^2-t+1)^2}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{Por\ Ostrogradski:\int \frac{P(t)}{Q(t)}dt=\frac{P_1(t)}{Q_1(t)}+\int \frac{P_2(t)}{Q_2(t)}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=-\frac{t}{3(t^3+1)}+\frac{1}{3}\int \frac{1}{t^3+1}dt=-\frac{t}{3(t^3+1)}+\frac{1}{3}\int \frac{1}{(t+1)(t^2-t+1)}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=-\frac{t}{3(t^3+1)}+\frac{1}{3}\int \left [ \frac{1}{3(t+1)}-\frac{t-2}{3(t^2-t+1)} \right ]dt}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=-\frac{t}{3(t^3+1)}+\frac{1}{3}\int \frac{1}{t+1}dt-\frac{1}{3}\int \frac{t-2}{t^2-t+1}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx=-\frac{t}{3(t^3+1)}+\frac{1}{3}ln(t+1)-\frac{1}{3}\int \frac{t-2}{t^2-t+1}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{Escrevendo\ t-2=\frac{2t-1}{2}-\frac{3}{2}\ \therefore\ \int \frac{t-2}{t^2-t+1}dt=\frac{1}{2}\int \frac{2t-1}{t^2-t+1}dt-\frac{3}{2}\int \frac{1}{t^2-t+1}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{s=t^2-t+1\ \therefore\ ds=(2t-1)dt\ \therefore\ \int \frac{2t-1}{t^2-t+1}dt=\int \frac{1}{s}ds=ln(s)=ln(t^2-t+1)}[/latex]

[latex]\mathrm{\int \frac{1}{t^2-t+1}dt=\int \frac{1}{\left ( t-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}dt\ \therefore\ r=\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\ \therefore\ dr=\frac{2}{\sqrt{3}}dt}[/latex]

[latex]\mathrm{Deste\ modo:\int \frac{1}{t^2-t+1}dt=\int \frac{1}{\left ( t-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}dt=\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{r^2+1}dr=\frac{2}{\sqrt{3}}arctan\left ( \frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right )}[/latex]

Agora, voltemos para a variável x:

[latex]\mathrm{I=\frac{ln\left ( \left |1+ \sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}} \right | \right )}{3}-\frac{ln\left ( \sqrt[3]{\mathrm{tan^2(x)}}-\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}+1 \right )}{6}+\frac{arctan\left ( \frac{2\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}-1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{1+tan(x)}+C}[/latex]

Sendo:

[latex]\mathrm{I=\int \frac{\sqrt[3]{\mathrm{tan(x)}}}{[sin(x)+cos(x)]^2}dx}[/latex]

Que é a integral solicitada pelo enunciado.

Segue a resolução. Acredito que eu não tenha errado nada, pois derivando o resultado da integral recai-se no integrando.

A propósito, eu omiti alguns cálculos para não poluir a resolução. Caso tenha dúvidas em algo, avise.