Resolva um Triângulo

por Luis_Moreira Qui 07 Mar 2024, 21:33

Resolva um triângulo retângulo ABC, sabendo que a=5 e r=1.

Obs: Acredito que r seja o raio da circunferência inscrita no triângulo

por **Elcioschin** Qui 07 Mar 2024, 21:41

r = (b + c - a)/2 ---> 1 = (b + c - 5)/2 ---> b + c = 7 ---> c = 7 - b ---> I

b² + c² = a² ---> b² + c² = 25 ---> II

I em II --> calcule b

Depois calcule c em I

por **Giovana Martins** Qui 07 Mar 2024, 21:45

Posso estar equivocada, mas este enunciado está bem fajuto.

Se a hipotenusa for 5, logo, trata-se do triângulo pitagórico cuja terna é dada por (3,4,5) e assim está resolvido o triângulo.

Partindo-se do princípio de que trata-se de uma circunferência inscrita ao triângulo e que 5 é um dos catetos, pelo Teorema de Poncelet:

a + b = c + 2r, tal que c é a hipotenusa do triângulo retângulo. Assim:

5 + b = c + 2, o que acarreta c - b = 3 (i).

Pelo Teorema de Pitágoras:

a² + b² = c², tal que c² - b² = 25 (ii)

De (i) e (ii): b = 8/3 e c = 17/3.

Assim, (a,b,c) = (5, 8/3, 17/3).

por **Giovana Martins** Qui 07 Mar 2024, 21:57

Postei, pois eu já havia digitado.

Fiz de um jeito supondo que a = 5 não é hipotenusa, pois o triângulo retângulo de hipotenusa 5 tem catetos 3 e 4 (isso a gente sabe sem fazer contas pelo fato de o triângulo ser famoso, mas deveria ser provado tal como o Élcio fez).

Optei por explorar a questão de outra forma. Enfim, o enunciado me é estranho.

A meu ver, ambas as formas estão corretas. Deixo para ti a tarefa de provar isso (sem muito rigor) a partir da relação S = pr, sendo S a área do triângulo, p o semiperímetro e r o raio da circunferência inscrita.

por **Elcioschin** Sex 08 Mar 2024, 09:34

Acho que o Teorema está escrito errado, acho que foi invertido a com c.

Hipotenusa: a = 5

por **Giovana Martins** Sáb 09 Mar 2024, 14:22

Elcioschin escreveu:
Acho que o Teorema está escrito errado, acho que foi invertido a com c.

Hipotenusa: a = 5

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Boa tarde, mestre. Espero que o senhor esteja bem.

Na verdade, eu desenvolvi a questão de um modo um pouquinho diferente em relação à forma como o senhor desenvolveu. O senhor partiu do princípio de que a = 5 é hipotenusa. A forma que eu propus parte da ideia de que a = 5 é um dos catetos.

Não vejo problemas em fazer desta forma, pois o enunciado deixa margem para interpretação de que a = 5 é um dos catetos, uma vez que ele não diz que a = 5 é hipotenusa.

Eu enunciei o Teorema de Poncelet como sendo a + b = c + 2r. Neste caso, c seria a hipotenusa. Veja que ao fim da minha resolução eu obtive a terna (a,b,c) = (5, 8/3, 17/3), sendo c = 17/3 o maior lado justamente por ser a hipotenusa do triângulo.

Substituindo a terna (a,b,c) em a + b = c + 2r encontra-se r = 1 tal como o enunciado indicou.

por **Elcioschin** Sáb 09 Mar 2024, 16:57

Agora entendi seu ponto de vista.

Eu considerei a = 5 a hipotenusa, por vício, já que na maioria das vezes, é o que as questões consideram, pelo menos no Brasil.

Mas nada impede que a = 5 seja um dos catetos.
Isto deveria ter sido esclarecido no enunciado. Note que o colega que postou estava em dúvida até sobre r ser ou não o raio do círculo inscrito!

Só quem pode esclarecer é quem postou a questão.

por **Giovana Martins** Sáb 09 Mar 2024, 17:09

Elcioschin escreveu:Agora entendi seu ponto de vista.

Eu considerei a = 5 a hipotenusa, por vício, já que na maioria das vezes, é o que as questões consideram, pelo menos no Brasil.

Mas nada impede que a = 5 seja um dos catetos.
Isto deveria ter sido esclarecido no enunciado. Note que o colega que postou estava em dúvida até sobre r ser ou não o raio do círculo inscrito!

Só quem pode esclarecer é quem postou a questão.

Pois é, mestre. A primeira resolução que eu pensei foi no triângulo pitagórico também e acredito até que seja isso que a questão queria, mas o enunciado, a meu ver, não está muito bom. Ele deixa muitas brechas.

por Luis_Moreira Sáb 09 Mar 2024, 19:51

Elcioschin escreveu:Agora entendi seu ponto de vista.

Eu considerei a = 5 a hipotenusa, por vício, já que na maioria das vezes, é o que as questões consideram, pelo menos no Brasil.

Mas nada impede que a = 5 seja um dos catetos.
Isto deveria ter sido esclarecido no enunciado. Note que o colega que postou estava em dúvida até sobre r ser ou não o raio do círculo inscrito!

Só quem pode esclarecer é quem postou a questão.

Infelizmente o enunciado da questão é exatamente o que escrevi. O livro antes de chegar nessas questões demonstra alguns teoremas, e nesses teoremas utiliza 'r' como o raio da circunferência inscrita e 'a' como a hipotenusa do triangulo.
Essa questão foi retirado do livro Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 3, existe uma versão desse livro feito para professores onde existe a resolução escrita dos exercícios. Tentei entender ler essa resolução, mas ela possuiu um salto logico que não consegui compreender.

Segue a parte da resolução que não compreendi:

(a+b+c)/2*r = a*h/2 => h = (2r^2+2ra)/a => h=12/5

Acho interessante dizer que a formula que o mestre usou (r=[b+c-a]/2) não foi mostrado no livro, talvez por ser um livro de trigonometria que possui apenas um apêndice reservado para a resolução de triângulos.

por **Giovana Martins** Dom 10 Mar 2024, 13:25

Luis_Moreira escreveu:
Elcioschin escreveu:
Agora entendi seu ponto de vista.

Eu considerei a = 5 a hipotenusa, por vício, já que na maioria das vezes, é o que as questões consideram, pelo menos no Brasil.

Mas nada impede que a = 5 seja um dos catetos.
Isto deveria ter sido esclarecido no enunciado. Note que o colega que postou estava em dúvida até sobre r ser ou não o raio do círculo inscrito!

Só quem pode esclarecer é quem postou a questão.
Infelizmente o enunciado da questão é exatamente o que escrevi. O livro antes de chegar nessas questões demonstra alguns teoremas, e nesses teoremas utiliza 'r' como o raio da circunferência inscrita e 'a' como a hipotenusa do triangulo.
Essa questão foi retirado do livro Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 3, existe uma versão desse livro feito para professores onde existe a resolução escrita dos exercícios. Tentei entender ler essa resolução, mas ela possuiu um salto logico que não consegui compreender.

Segue a parte da resolução que não compreendi:

(a+b+c)/2*r = a*h/2 => h = (2r^2+2ra)/a => h=12/5

Acho interessante dizer que a formula que o mestre usou (r=[b+c-a]/2) não foi mostrado no livro, talvez por ser um livro de trigonometria que possui apenas um apêndice reservado para a resolução de triângulos.

Ah, entendido. Na verdade é uma questão do contexto do livro. Eu também usei o FME e, de fato, nele há algumas questões assim, que fazem sentido dentro do contexto do livro.

O teorema que o Élcio usou é o Teorema de Poncelet. Tem esse teorema no FME de geometria plana, porém, não com esse nome. Caso tenha interesse, procure pelo Youtube esse nome que você achará algumas demonstrações. Elas são bem tranquilas de entender.