Integral

Calcule o limite reconhecendo a soma como uma Soma de Reimann para uma função f definida em [0,1]

[latex]\lim_{n \to+ \infty }\frac{1}{n}(\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{2}{n}}+\sqrt{\frac{3}{n}}+...+\sqrt{\frac{i}{n}}+...+\sqrt{\frac{n}{n}})[/latex]

gabarito: 2/3

Veja que:

\[ \underset{n \mapsto  \infty }{lim}\;\;\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}}\;=\;  \underset{n \mapsto  \infty }{lim}\;\;\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})*\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x, \;\; \Delta x \mapsto 0\; \wedge \;x_k=\frac{k}{n} \]

Ou seja, o limite pedido é uma soma de Riemann cuja partição é \(P=[0=0/n, 1/n , 2/n , ... , n/n=1]\). Portanto, se segue que:

\[ \underset{n \mapsto  \infty }{lim}\;\;\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1}\sqrt{x}\;\;dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3/2} \bigg|_0^1 \]

\[\therefore \underset{n \mapsto  \infty }{lim}\;\;\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}} =\frac{2}{3}\]