Limite, duvida
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Limite, duvida
por Eliel Hoinart Sex 05 Abr 2024, 21:54
Poderiam me ajudar a resolver essa função;
Lim (√x³-1)/x+1 quando x tende a -1, a infinito e a 0
Lim (√x³-1)/x+1 quando x tende a -1, a infinito e a 0
Última edição por Eliel Hoinart em Sex 05 Abr 2024, 23:00, editado 1 vez(es)
Eliel Hoinart- Iniciante
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Re: Limite, duvida
por Giovana Martins Sex 05 Abr 2024, 22:04
Certeza que no denominador não seria x - 1 ao invés de x + 1?
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Limite, duvida
por Eliel Hoinart Sex 05 Abr 2024, 22:18
Infelizmente nãoGiovana Martins escreveu:Certeza que no denominador não seria x - 1 ao invés de x + 1?
Eliel Hoinart- Iniciante
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Re: Limite, duvida
por Giovana Martins Sex 05 Abr 2024, 22:47
Para x tendendo a 0:
[latex]\\\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{(0)^3-1}}{0+1}=\sqrt{-1}=i\ (unidade\ imagin\acute{a}ria)}[/latex]
Para x tendendo a -1:
[latex]\\ \mathrm{Note\ que\ para\ x\to -1^-\ tem-se\ \frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}\to -i\ (explode\ para\ o\ infinito) }\\\\ \mathrm{Note\ que\ para\ x\to -1^+\ tem-se\ \frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}\to +i\ (explode\ para\ o\ infinito) }\\\\ \mathrm{Assim\ \lim_{x\to -1^-}\frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}\neq \lim_{x\to -1^+}\frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}\ \therefore\ \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}=\nexists}\\\\ \mathrm{Exemplo\ num\acute{e}rico:}\\\\ \mathrm{x\to -1^-\ \therefore\ \frac{\sqrt{(-1,01)^3-1}}{-1,01+1}=-100\sqrt{(-1,01)^3-1} \in\mathbb{C}}\\\\ \mathrm{x\to -1^+\ \therefore\ \frac{\sqrt{(-0,99)^3-1}}{-0,99+1}=+100\sqrt{(-0,99)^3-1}\in \mathbb{C}}\\\\ \mathrm{Tal\ que\ -100\sqrt{(-1,01)^3-1}\neq +100\sqrt{(-0,99)^3-1}\ \therefore\ \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^3-1}}{x+1}=\nexists}[/latex]
Para x tendendo ao infinito:
O numerador cresce muito mais rapidamente que o denominador √(x³ - 1) >> x + 1, o que faz com que este limite exploda para o infinito.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Limite, duvida
por Eliel Hoinart Sex 05 Abr 2024, 22:59
Obrigado, achei que estava fatorando errado, procurei varias formas de fatorar mas nenhum deu um resultado diferente. Muito bom.
Eliel Hoinart- Iniciante
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Re: Limite, duvida
por Giovana Martins Sex 05 Abr 2024, 23:02
Disponha.
Foi por isso que perguntei quanto ao denominador. Geralmente em questões assim é esperado o surgimento de uma fatoração de tal modo a eliminarmos o elemento que está gerando um resultado "esquisito".
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Limite, duvida
por Elcioschin Sáb 06 Abr 2024, 09:29
Outro modo para x tendendo a ± ∞:
Levando (x + 1) para dentro do radicando e "esquecendo" o radical, para facilitar a escrita:
..x³ - 1 .......... x³ - 1
---------- - --------------- ---> Dividindo numerador e denominador por x³:
(x + 1)² .... x² + 2.x + 1
...... 1 - 1/x³
--------------------- ---> Para x ---> ± ∞ --->
1/x + 2/x² + 1/x³
...1 - 0
----------- ---> tende para infinito
0 + 0 + 0
Levando (x + 1) para dentro do radicando e "esquecendo" o radical, para facilitar a escrita:
..x³ - 1 .......... x³ - 1
---------- - --------------- ---> Dividindo numerador e denominador por x³:
(x + 1)² .... x² + 2.x + 1
...... 1 - 1/x³
--------------------- ---> Para x ---> ± ∞ --->
1/x + 2/x² + 1/x³
...1 - 0
----------- ---> tende para infinito
0 + 0 + 0
Elcioschin- Grande Mestre
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