Princípio da igualdade

Por que é que se elevar cada elemento de uma igualdade ao quadrado eu modifico a igualdade, mas se eu elevar ambos os lados não? Um exemplo bem simples:

2 + 2 = 4
(2)² + (2)² = 4²
8 = 16 (?)

Elevando ambos os lados da mesma equação:

(2 + 2)² = 4²
4² = 4²
16 = 16

Tive curiosidade porque, em outras operações, como a divisão e a multiplicação, por exemplo, isso não ocorre.

Boa noite, Giovana, estou bem. Espero que esteja também

Eu até que percebi isso, mas a minha dúvida, realmente, era por que funcionava em divisões ou multiplicações, mas não com potenciações.

Bem, agora, escrevendo isso, imagino que a minha dúvida ocorreu porque a potenciação é uma sequência de multiplicações, afinal, o que poderia dar errado? A resposta veio tão rápido quanto a pergunta:

(2 ∙ 2) + (2 ∙ 2) = 4 ∙ 4

É como se eu tivesse multiplicando cada elemento à esquerda por 2 e à direita por 4. Por isso, a igualdade não permanece a mesma. 

Obrigada pela ajuda.