inequação logaritmica

(IEZZI) log  (x-1) . log   (3x-4) > 0 
                   ²                  ½

Desenvolvi e cheguei a log (x-1) . log ( 3x-4) < 0
                                     ²               ²

Será que tem alguma propriedade para esta multiplicação?
Não consegui fazer as intersecções.

gab: 5/3 < x < 2

Você pode usar a tabela de sinais (varal) para as duas funções log ou desenhar as duas funções.

f(x) = log₂(x - 1) ---> 

Para x = 2 ---> f(2) = 0 ---> (2, 0)
Para x = 3 ---> f(3) = 1 ---> (3, 1)

g(x) =  log₂(3.x - 4) --->

Para x = 5/3 --> g(5/3) = 0 ---> (5/3, 0)
Para x = 2 ---> g(2) = 1 ---> (2, 1)

Para o conjunto ser negativo, um dos log deve ser positivo e o outro negativo.

log 2 (x-1) . log 1/2 (3x-4) > 0

log 2 (x-1) . (-1) . log 2 (3x-4)>0 (propriedade do log)

log 2 (x-1) . log 2 (3x-4)<0 (multiplicando a inequação por -1 eu mudo o sentido da desigualdade)

Caso 1: log 2 (x-1)<0 e log 2 (3x-4)>0

1) x-1>0 --->  x>1
2) 3x-4>0 ---> x>4/3
3) x-1<1 (apliquei a definição de log da primeira inequação) ---> x<2
4) 3x-4>1 (apliquei a definição de log da segunda inequação) ---> x>5/3

Fazendo as interseções das desigualdades temos que ---> 5/3 < x <2 (primeira solução)

Caso 2: log 2 (x-1) > 0  e  log 2 (3x-4) < 0

1) x-1>0 --->  x>1
2) 3x-4>0 ---> x>4/3
3) x-1 > 1 (apliquei a definição de log da primeira inequação) ---> x > 2
4) 3x-4 < 1 (apliquei a definição de log na segunda inequação) ---> x < 5/3

Fazendo as interseções das desigualdades temos que a solução da inequação é vazia, portanto, vale somente a primeira solução (5/3 < x < 2)