Força elétrica.

por **LPavaNNN** Sáb 17 Nov 2012, 08:03

Na figura, vemos uma haste vertical rígida de comprimento L. Preso a sua extremidade superior temos um pêndulo elétrico composto por um fio de comprimento L e uma partícula de massa m. Nas extremidades da haste e do fio existem duas partículas A e B que se repelem. Uma escala graduada marcada na superfície desse dispositivo
permite medir o ângulo (alpha) que o fio forma com a vertical. Logicamente, quanto maior o ângulo (alpha), maior a carga elétrica das partículas. Esse aparelho é denominado eletrômetro e visa a medir cargas elétricas a partir do ângulo (alpha). Admita que ambas as
partículas A e B têm cargas elétricas idênticas Q. Se a gravidade local vale g e a permissividade elétrica do vácuo vale e, determine a expressão literal para a carga Q.

$R:4L.\sin (\frac{\alpha }{2})\sqrt{2\pi\varepsilon .m.g.\sin (\frac{\alpha }{2})}$

A resposta que consegui chegar foi quase igual, só não sei de onde vem esse 2 dentro da raiz.

Força elétrica. Eltrica2

por **Leonardo Sueiro** Sáb 17 Nov 2012, 10:22

Vamos a resolução. cheers

Vamos entender essa figura. Eu tracei dois eixos coordenados(x,y), sendo o eixo x tangente à circunferência de raio L. Por uma propriedade das potências de ponto, β = α/2(metade do ângulo central correspondente).

Veja que, como a partícula está em repouso, podemos considerar nula a resultante no eixo x:

$Fe_{x} = P_{x}$

Fe é a força elétrica!!!

Força elétrica. Semttulo2clh

Como os eixos coordenados fazem 90º entre si, é fácil perceber que o ângulo entre o Peso e sua componente em x é igual a "90 - α "

Mas eu quero trabalhar com α/2. Vamos dar uma brincada com o ângulo acima.

α/2 = z

Multiplicando numerador e denominador por 2:
(90 - α) 2/2 = 2(90 - α)/2 = 2(45 - α/2) = 2(45 - z) = 90 - 2z

$\\ Fe.cosz = Pcos(90 -2z)\\Fe.cosz = P[cos90.cos(2z) + sen90.seno(2z)] \\Fe.cosz = Psen(2z)\\Fe.cosz = P.2senz.cosz\\$

Dividindo os dois membros pelo cosseno:
$\\Fe = P.2senz (1)\\$

Vamos descobrir a distância entre as cargas pela lei dos cossenos:
$d^2 = 2L^2 - 2L^2.cos(\frac{2a}{2})$

Veja que eu usei uma artimanha(dividi em cima e embaixo por 2):
$d^2 = 2L^2 - 2L^2.cos(2z)$

$d^2 = 2L^2[1 - cos(2z)] = 2L^2[1 - (cos^2z - seno^2z)] = 2L^2[1 - cos^2z + seno^2z] = 2L^2[2seno^2z] = 4L^2sen^2z$

Lembrando que $k = \frac{1}{4\varepsilon \pi }$

$Fe = P.2senz.cosz \rightarrow \frac{Q^2K}{d^2} = P.2senz$

$\frac{Q^2K}{4L^2sen^2z} = P.2senz \rightarrow \frac{Q^2}{4\epsilon \pi } = 4L^2(sen^2z)P.2(senz) \rightarrow Q^2 = 16\varepsilon \pi L^2(sen^2z)P.2(senz)$

$Q = 4L(senz)\sqrt{2\epsilon \pi (senz)P} \rightarrow Q = 4L(senz)\sqrt{2\epsilon \pi (senz)mg}$

Logo:
$Q = 4L(sen\frac{\alpha }{2})\sqrt{2\epsilon \pi (sen\frac{\alpha }{2})mg}$

por **LPavaNNN** Dom 18 Nov 2012, 19:53

Pensando em uma maneira alternativa de responder( essa parece que ocuparia muito tempo em uma prova), tente achar o que eu estou errando:

Força elétrica. 42003828

$\alpha+2\beta=180º\\\\sen\alpha=sen2\beta\\\\cos\beta.P=\frac{K.Q^2}{d^2}$
como o triângulo é isósceles, sua altura relativa, é tbm a bissetriz e mediana.

$sen\frac{\alpha }{2}.L=\frac{d}{2}\\d=2.sen\frac{\alpha }{2}.L\\\\\frac{L}{sen\beta }=\frac{d}{sen\alpha }\\\\\frac{L}{sen\beta}=\frac{d}{2.sen\beta .cos\beta}\\\\d=2.L.cosB\\\\2.L.cosB=2.sen\frac{\alpha }{2}.L$

$cos\beta=sen\frac{\alpha}{2}\\ cos\beta.P=\frac{K.Q^2}{d^2}\\\\sen\frac{\alpha}{2}.P=\frac{Q^2}{4.\pi.\varepsilon.4.L^2.sen^2\frac{\alpha}{2} }\\\\Q^2=sen\frac{\alpha}{2}.Mg.16\pi.\varepsilon .L^2.sen^2\frac{\alpha}{2}\\\\Q=4.L.sen\frac{\alpha}{2}\sqrt{sen\frac{\alpha}{2}.M.g.\pi.\varepsilon }$

por **LPavaNNN** Dom 18 Nov 2012, 20:06

o que está dizendo é que, pelo triângulo de baixo ser diferente, então a relação: $sen\alpha=sen2\beta$ , é inválida ?? Poderia... me ajudar a responder da maneira que tentei? Isso se for possível.

por **Leonardo Sueiro** Dom 18 Nov 2012, 20:11

Cara asssim fica díficil

Como você chegou em sena/2 ?
Se você estiver disposto a detalhar passo a passo, fica mais fácil

obs.: levei meia página para resolver
ficou grande por causa dos desenhos, mas perceba que fiz menos conta que você, apenas detalhei mais

por **LPavaNNN** Dom 18 Nov 2012, 20:13

uma linha traçada do ângulo alpha, de modo, que ela será a bissetriz desse angulo, e por ele ser isósceles, essa linha, vai interceptar o lado oposto ao meio.

por **Leonardo Sueiro** Dom 18 Nov 2012, 20:17

entendi ...

e aqui: l/senbeta = d/senalfa ?

por **LPavaNNN** Dom 18 Nov 2012, 20:18

lei dos senos

por **Leonardo Sueiro** Dom 18 Nov 2012, 20:22

Acho que sei onde você errou:

A componente do Peso e a força elétrica não estão alinhadas no seu desenho. Eu construi uma projeção própria e consegui alinhá-las...