Cinemática bidimensional.

Olá,

Gostaria de saber se algum companheiro poderia me ajudar nas duas questões seguintes:


1) À metade de sua altura máxima, a velocidade de um projétil é 3/4 de sua velocidade inicial. Qual foi o ângulo de lançamento? (ignore a resistencia do ar)

UMA QUESTÃO RETIRADA DE ACORDO COM O REGULAMENTO DO FÓRUM

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Este deu trabalho!!

A velocidade vertical em função da altura é dada por

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

cujo gráfico está abaixo:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

As tangentes dos ângulos a cada posição são dadas por

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

de modo que a relação entre as tangentes é igual à relação entre as velocidades verticais, sendo a velocidade horizontal constante. Então (vide relação explicitada no gráfico):

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

sabemos também que [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] o que podemos escrever como

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

para exprimir o cosseno em função da tangente fazemos

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

agora podemos escrever a expressão anterior em função das tangentes

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

com uma mudança temporária de variável

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

Transcrição de mensagem do dlemos:

Estava olhando a brilhante soluçao do Euclides para este problema: [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] e encontrei uma solução mais facil, porém como não posso postar lá, criei esse novo post.
Ai vai minha resolução:
Sabendo que: Vo²=Vx²+Voy², sendo Vo e Voy as velocidades iniciais na direção real e sua projeção em y, temos:
Vx²=Vo²(1-sen²θ) → Vx²=Vo².cos²θ (eq1)

Pela conservação da energia no momento de altura máxima temos:
m.Vo²/2=mgH+mVx²/2 → Vx²=Vo²-2gH (eq2)

Pela conservação da energia no momento da altura pela metade, sabendo que a velocidade é 3/4 da inicial, temos: m.Vo²/2=mgH/2+m.9.Vo²/32 → gH=7.Vo²/16 (eq3)

Substituindo (eq3) em (eq2) temos:
Vx²=Vo²-7.Vo²/8 → Vx²=Vo²/8 (eq4)

Substituindo (eq4) em (eq1) temos:
Vo²/8=Vo².cos²θ → cos²θ=1/8 → cosθ=(√2)/4 → θ≈69,3º