Sistema de equações

por **ramonss** Sáb 29 Dez 2012, 16:17

x-x-x-x-x
Editei aqui, tem um erro. Vou repostar.

por **Leonardo Sueiro** Sáb 29 Dez 2012, 16:29

Igor, depois de um tempo em cima da questão e sem conseguir resolvê-la, acabei chegando ao gabarito de uma forma maluca. Não sei se ela possui consistência matemática.

Transformei o segundo lado da equação em logaritmos de bases convenientes:

1 = 1 - 0 = log2(2) - log1(3)

Depois igualei:

x + y =2
x - y = 1

Veja que confere com o gabarito. Evidentemente que não temos números na expressão entre parênteses, mas sim uma expressão com duas incógnitas. Entretanto, acho que o único impasse seria em ter certeza que há apenas uma solução. Sabendo disso, será que seria possível achá-la como fiz?

Não achei contra-exemplos.

Opinem por favor. Apesar de maluca, resolvi postar porque achei interessante a coincidência.

por **ramonss** Sáb 29 Dez 2012, 16:33

1 = 4 - 3 = log[2]16 - log[3]27
x + y = 16
x - y = 27

Entendi o que você fez, mas não botei muita fé. Pensando sobre..

por **Leonardo Sueiro** Sáb 29 Dez 2012, 16:34

Nem eu botei
Eu meio que fiz o sistema de cabeça e vi que batia com o gabarito.

Postei para alguém achar a incoerência, porque foi uma baita de uma coincidência hehe

Pensando sobre ...

Espero seus pensamentos ... Very Happy

por **Leonardo Sueiro** Sáb 29 Dez 2012, 16:39

Aliás, hoje é o dia das coincidências huahuahua.
Lembre-se do outro tópico do Ibatexano cheers

por **ramonss** Sáb 29 Dez 2012, 16:46

eq II)

$Sistema de equações Gif$

eq I) e substituindo

$Sistema de equações Gif$

Prosseguindo:

$Sistema de equações Gif$

Como
(x + y)(x - y) = 2

$Sistema de equações Gif$

por **ramonss** Sáb 29 Dez 2012, 16:47

Saiu!!!
hehe

poisé, acho q foi coincidência haha!

por Igor Bragaia Sáb 29 Dez 2012, 19:44

Ufa, Consegui!!
(Precisei sair, por isso só estou atualizando o post agora)
Ramonss, desculpe-me, mas não entendi muito bem sua resolução.

Segue a resolução:
$\dpi{120} \\ \text{ (Eq. I) } \rightarrow \log_{2} \left ( x+y \right ) - log_{3}\left ( x-y \right ) = 1 \\ \text{ (Eq. II) } \rightarrow (x+y)(x-y)=2 \Rightarrow x+y=\frac{2}{x-y} \\ \text{ (Eq. II em I) } \rightarrow \log_{2} \frac{2}{x-y} - \log_{3}(x-y) = 1 \Leftrightarrow \\ 1 - \log_{2}(x-y) - \log_{3}(x-y)=1 \Leftrightarrow \log_{2}(x-y)+\log_{3}(x-y) = 0 \\ \text{Mudando pra base 6 } \rightarrow \frac{\log_{6}(x-y)}{\log_{6}2} = - \frac{\log_{6}(x-y)}{\log_{6}3} \\ \log_{6}2 . \log_{6}(x-y) + \log_{6}(x-y).\log_{6}3 = 0 \Leftrightarrow \log_{6}(x-y)\left ( \log_{6}2 +\log_{6}3 \right ) = 0$
$\\ \log_{6}(x-y)=0\Leftrightarrow x-y=1 \Leftrightarrow x=1+y^2\\ x^2-y^2=1 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{2} \\ \therefore S=\left \{ \frac{3}{2},\frac{1}{2} \right \}$

[edit] obs: na antepenúltima linha errei ao digitar x=1+y², o correto é x=1+y e na penúltima linha errei ao digitar x²-y²=1, quando na verdade segundo a eq II, é x²-y²=2