Calculando Limites (4)

por **Euclides** Sex 01 Fev 2013, 19:09

Agora vamos falar sobre calcular limites. Seja o limite abaixo:

$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}$

o princípio geral de operação nos leva a procurar $f(-1)$ e somos surpreendidos por

$\lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{0}{0}!!!$

Ora! este é um símbolo que não faz sentido em matemática. É chamado de uma indeterminação. Obteríamos algo da mesma natureza com

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{\infty}{\infty}!!!$

outra indeterminação. O que fazer? Vamos conhecer essa função:

Calculando Limites (4) Limites_4

o que podemos ver é que ela é muito parecida com $f(x)=x-1$ , exceto pelo fato de que na nossa função o ponto $(-1,\;-2)$ não pertence ao domínio, enquanto faz parte do domínio de $f(x)=x-1$ .

Vemos, entretanto, que as duas funções têm o mesmo limite naquele ponto. Isso nos sugere que

$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\to -1}(x-1)=-2$

com efeito isso nos autoriza a efetuar uma manipulação algébrica por fatoração para encontrar o limite desejado:

$\\\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\to -1}\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=\lim_{x\to -1}x-1=-2\\\\\\\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2-1}{x+1} =\lim_{x\to +\infty}x-1=+\infty$

e superamos as indeterminações!!

O domínio da fatoração e da arte de manipulação algébrica serão fundamentais para a resolução desse tipo de limites

Os principais casos de indeterminação são:

$\boxed{0/0\;\;\;\;\infty/\infty\;\;\;\;\infty-\infty\;\;\;\;\infty^0\;\;\;\;1^{\infty}\;\;\;\;0.\infty}$

sendo possíveis os seguintes casos

$\\a+(-\infty)=-\infty\\a+(+\infty)=+\infty\\(+\infty)+(+\infty)=+\infty\\(-\infty)+(-\infty)=-\infty\\a/\pm\infty=0\\a/0=\infty$

Para praticar:

$\\a)\;\;\lim_{x\to3}\frac{x^3-9}{x-3}\;\;\;\;\;\;b)\;\;\lim_{x\to4}\frac{x^2-7x+12}{x-4}\;\;\;\;\;\;c)\;\;\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-3x+2}\\\\\\d)\;\;\lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x-3}\;\;\;\;\;\;e)\;\;\lim_{x\to\infty}\frac{7x^8-4}{-2x^8+5}$

$\\f)\;\;\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+5x+1}{x^4+5x^3+4} \;\;\;\;\;\;g)\;\;\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^4-2}{\sqrt{x^8+3x+4}}$

sugestão para os exercícios e) , f) e g): coloque em evidência a maior potência de x

Respostas:

por **Matheus Bertolino** Sex 01 Fev 2013, 20:26

Porquê ∞^0 e 1^∞ são casos de indeterminação? Poderia me dar algum exemplo?

A g) é legalzinha, xD

por **Euclides** Sex 01 Fev 2013, 20:40

Matheus Bertolino escreveu:Porquê ∞^0 e 1^∞ são casos de indeterminação? Poderia me dar algum exemplo?

Não conheço explicação.

por **Leonardo Sueiro** Sex 01 Fev 2013, 20:51

Infinito não é um número. Não podemos trabalhar com coisas que não podem assumir valores.

É por isso que não podemos fazer "∞/∞ = 1".

∞ é apenas uma ideia.
Quando se diz, por exemplo, que o lim 1/x², quando x -> 0, é igual a ∞, na verdade estamos descrevendo o comportamento explosivo da função. Não existe limite = ∞!!! Limite é um número!!! Esse exemplo nos deixa claro a função "descritiva" do infinito.

por **Matheus Bertolino** Sex 01 Fev 2013, 21:00

Mas Leonardo, 1 elevado a qualquer número é 1. Porque 1^∞ não seria 1? Como que 1^∞ pode vir a causar uma indeterminação?

por **Leonardo Sueiro** Sex 01 Fev 2013, 21:20

Salvo engano, a explicação formal que dão envolve a expressão (1 + x)^1/x(não lembro bem, então não vou me arriscar em postar), mas não significa que eu a aceite.

Isso é doidisse da matemática. Você não vê físicos dizendo que a força gravitacional nunca é nula, vê?

por **Euclides** Sex 01 Fev 2013, 21:41

Eu não sei dizer, mas o pior é que, com uma ajuda da calculadora

$\\\lim_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}\;\;\to\;\;\infty^0\\\\\\x=9.10^{45}\;\;\;\to\;\;\;\;\;\left (9.10^{45} \right )^{\frac{1}{9.10^{45}}}\;\;\;\to 1$

funciona como se não fosse uma indeterminação...

por **Leonardo Sueiro** Sex 01 Fev 2013, 21:50

1) (1 + 0,1)^1/0,1
2) (1 + 0,01)^1/0,01
3) (1 + 0,001)^1/0,001
4) (1 + 0,0001)^1/0,0001
...

Aproxima-se do número de Euller.

por **Elcioschin** Sex 01 Fev 2013, 22:01

Vou tentar explicar (Vou usar a notação oo para infinito)

1) É fácil entender que 0/0 é uma indeterminação: QUAQUER quociente serve:

0 |0 ......... 0|0
0 |1 ......... 0|2 ..... etc

2) oo/oo = (1/0)/(1/0) = (1/0)*(0/1) = 0/0 ----> Recaímos no caso anterior

3) oo - oo = 1/0 - 1/0 = (1*0 - 1*0)/0 = (0 - 0)/0 = 0/0 ----> idem

4) 1^oo = 1^(1/0) = Raiz índice 0 de 1 ----> Não existe raiz índice zero

5) 0*oo = 0*(1/0) = 0/0 -----> Cai no 1º caso

Faltou apenas provar que oo^0 é indeterminado. Deixo para outros tentarem

por **Leonardo Sueiro** Sex 01 Fev 2013, 22:04

Mas, para provarmos 4, teríamos que aceitar essa equação " 1/0 = ∞" e aceitar como possível uma divisão por zero, não teríamos?

Daí entraríamos em um absurdo:
1/0 = ∞
1 = ∞*0
0 = 1