Calculando Limites (4)

Relembrando a primeira mensagem :

Agora vamos falar sobre calcular limites. Seja o limite abaixo:



o princípio geral de operação nos leva a procurar e somos surpreendidos por



Ora! este é um símbolo que não faz sentido em matemática. É chamado de uma indeterminação. Obteríamos algo da mesma natureza com



outra indeterminação. O que fazer? Vamos conhecer essa função:



o que podemos ver é que ela é muito parecida com , exceto pelo fato de que na nossa função o ponto não pertence ao domínio, enquanto faz parte do domínio de .

Vemos, entretanto, que as duas funções têm o mesmo limite naquele ponto. Isso nos sugere que



com efeito isso nos autoriza a efetuar uma manipulação algébrica por fatoração para encontrar o limite desejado:



e superamos as indeterminações!!

O domínio da fatoração e da arte de manipulação algébrica serão fundamentais para a resolução desse tipo de limites

Os principais casos de indeterminação são:



sendo possíveis os seguintes casos



Para praticar:





sugestão para os exercícios e) , f) e g): coloque em evidência a maior potência de x

Respostas:

"1^oo = 1^(1/0)"

Acho que o problema está em ambos os membros dessa igualdade.
A dúvida serve tanto para 1^ ∞ quanto para 1^(lim1/x quando x tende a zero).

lim x->0 (1 + x)^(1/x) = (1 + 0)^(∞) = 1^(∞) = 1

Só que:
lim x->0,01 (1 + x)^(1/x) = (1 + 0,01)^(1/0,01) = 1,01^(100) = 2,70481383

Então... por ter jogado o limite pro expoente eu cheguei em 1, mas jogando um valor muito próximo de zero eu cheguei num valor muito próximo do número de euler.
Será que em todos os casos eu posso aplicar essa propriedade de jogar o limite pro expoente, ou isso só é válido quando eu não obter uma indeterminação nesse limite do expoente?

Parece que a indeterminação não está realmente em 1^(∞), mas sim na maneira em que você acaba chegando nele... porque você supõe, nesse caso, que (1 + x) vai ser 1, o que na verdade não acontece... mas por causa do expoente praticamente infinito, esse "quase um" elevado a infinito resulta no número de euler.

1^(∞) = 1

Essa operação não existe porque ∞ não é um número.

A operação seria lim 1^x quando x tende ao infinito.

Mas aí estaríamos violando a condição de existência da função exponencial e cairíamos em um absurdo:

- 1^(∞) = 1
- Mas 1^0 = 1;
- Então 1^(∞) = 1^0;
- Portanto ∞ = 0.



Antes que você me xingue(eu sei que dá vontade huahua), eu também nunca aceitei de fato essa indeterminação.

Você não você fazer isso:
1^∞ = 1^0 => ∞ = 0
Pois 1 =/= 2, mas 1^1 = 1^2 = 1

Ou seja, 1^n = 1^m para todo n e m reais.

∞ é um número, eu não sei qual número, mas é um número muito grande, e independente de sua grandeza, se eu elevar 1 à sua potência, ainda vai ser 1.
Se você jogar no wolfram "lim x->infinity 1^x" ele vai te dar como resposta 1 (como se não fosse uma indeterminação). Por isso não faz sentido que 1^∞ seja indeterminado (vai resultar 1 pra qualquer valor que infinito esteja representando), mas sim que as transformações que você faz num limite para chegar nesse 1^∞ final sejam inválidas (no caso que eu falei seria "você não pode simplesmente jogar o limite pro expoente, pois 1 + x nunca vai ser realmente 1").

Entende? uahsauhsaushauhauhs

Leonardo

Você escreveu em mensagem anterior:

Mas, para provarmos 4, teríamos que aceitar essa equação " 1/0 = ∞" e aceitar como possível uma divisão por zero, não teríamos?

Daí entraríamos em um absurdo:
1/0 = ∞
1 = ∞*0
0 = 1

Existe um erro neste raciocínio na passagem da penúltima linha:

∞*0 NÃO vale 0 ----> ∞*0 é indeterminado conforme eu provei anteriormente.

Mas para aceitarmos a transformação 1^oo = 1^(1/0), temos que aceitar a igualdade oo = 1/0 e, consequentemente, aceitar operações envolvendo-a, como por exemplo multiplicar ambos os lados por 0.

Mas mesmo que aceitássemos essa indeterminação acredito que ainda assim não poderíamos usar 1^oo = 1^(1/0):

oo = 1/0
0*oo = indeterminação

Portanto a expressão também seria indeterminada ...

Acho que o erro em aceitar como válida a igualdade 1/0 = ∞, é aceitar como possível premissa algo que envolva 1/0(que já é um absurdo)


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Matheus, sei que não posso fazer.

Mas veja seu post anterior, quando você usa 1^(∞) = 1.
Se é possível tratar o infinito como um número, também deveria ser possível usar operações com ele ...


Obs.: Deixando claro, novamente, que também prefiro aceitar 1^infinito = 1 hehe

Mas vamos prosseguir ...

Acho que o mais fácil é aceitar 1^infinito = 1 de forma não-matemática. Se quisermos provar isso de forma matemática, cairemos em abusurdos(simplesmente porque infinito é apenas uma descrição de um comportamento de alguma expressão).


Acho também que estamos nos esquecendo de um fator IMPORTANTÍSSIMO: Qual a implicação em se considerar o 1^infinito como indeterminação ou como sendo igual a 1? Existe alguma implicação? Desconheço...



@EDIT
1^∞ = 1^0 => ∞ = 0
Pois 1 =/= 2, mas 1^1 = 1^2 = 1

Matheus, isso ocorre porque para cancelarmos a base precisaríamos de uma base que satisfizesse a condição de existência da função exponencial(base > 0 e ≠ 1). Mas acontece que para admitirmos infinito como solução da equação "1^x = 1", estamos admitindo como possível uma base = 1.