Revisão de Funções

O cálculo é sem dúvida uma das maiores descobertas da matemática. Seu estudo e aplicações resultaram em resoluções de problemas até então ditos impossíveis, proporcionou resoluções muito mais elegantes para questões já resolvidas, além de levar a mente humana a um novo patamar de raciocínio e perspectiva. Sua descoberta (digo assim porque creio que na matemática não inventamo s nada, apenas descobrimos algo já existente e premeditado) é creditada a Isaac Newton e Gottfried Leibniz , sendo este último o principal responsável pela notação até hoje usada.
Antes da explanação do cálculo propriamente dito, devemos dominar o estudo das funções, por isso façamos no tópico 1 a revisão de tal assunto.

É extremamente necessário que quem estude este tópico já tenha estudado tudo sobre funções, de modo que sirva realmente apenas como revisão.

Em uma abordagem direta e axiomática, podemos definir uma função como uma relação entre conjuntos, uma lei na qual cada valor de x é correspondido ou não por outro valor de y.
A partir daqui iremos definir funções do tipo

Os valores que x assume são o conjunto domínio, os valores que y pode assumir são o conjunto contradomínio, e os valores que y de fato assume são o conjunto imagem. Nota que o conjunto imagem é um subconjunto do conjunto contradomínio.

Definições Gerais

Podemos definir a princípio 3 tipos de funções:

-Função injetora (injetiva): é aquela em que cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio.
-Função sobrejetora (sobrejetiva): é aquela na qual o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio. Em outras palavras, a função é sobrejetora quando todo elemento da imagem é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
-Função bijetora: é aquela que é simultaneamente injetora e sobrejetora.
É perceptível que a função só admitirá inversa caso seja bijetora.

Outro tipo de definição (paridade de uma função):

-Função par: é aquela em que f(k) = f(-k)
-Função impar: é aquela em que f(k) = -f(-k)

Função afim

Função polinomial do primeiro grau, ou até mesmo função linear. É toda função na forma , onde a é o chamado coeficiente angular, que é a tangente do ângulo de inclinação da reta medido no sentido trigonométrico e b é o coeficiente linear, que é onde a função intercepta o eixo das ordenadas. Seu gráfico é uma reta oblíqua:



Função quadrática

Função polinomial do segundo grau. É toda função na forma . Seu gráfico é uma parábola, cuja concavidade varia conforme o sinal do coeficiente do termo de grau 2, no caso o a.


Seu ponto de mínimo é chamado vértice e é um ponto de coordenadas . No tópico de derivadas será feita uma análise deste ponto sob outra perspectiva.

Função composta

A função composta é aquela que nasce da junção de outras duas funções. Por exemplo:


Não há um gráfico definido, uma vez que se variam as funções envolvidas.

Função modular

É aquela que associa cada elemento x a seu módulo |x|. Tem-se por definição:


Considera-se o módulo como o valor absoluto do número, ou seja, por exemplo: |+5| = |-5| = 5
Operações básicas (exemplo de aplicação):



Para k > 0



O gráfico da Função modular será o gráfico da função padrão, só que com a parte negativa refletida, uma vez que por definição a função modular agrega apenas valores positivos.
Sendo :



Função exponencial

A função exponencial é aquela que obedece à seguinte lei de formação:



Seu gráfico apresenta o eixo X como assíntota:



Dica: rever propriedades de potências

Função logarítmica

A função logarítmica é aquela que obedece à seguinte lei de formação:



Seu gráfico apresenta o eixo Y como assíntota, e é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1, conforme as tradicionais propriedades exponenciais:
Crescente:


Decrescente:



Dica: rever propriedades de logaritmos.


Há também as funções trigonométricas, mas como seu uso é frequente e importante para limites, derivadas e integrais, um tópico especial para elas será providenciado.

1) A função f(x) = x² + bx + c, definida para qualquer valor real x, é nula para x = r ou x = 3r. Determine r sabendo que o valor mínimo de f(x) é -9.

2) Determine a soma das raízes da equação .


3) Seja f(x) uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a cada inteiro ímpar o valor zero e a todo inteiro par o triplo do seu valor. Calcule .


4) Uma substância radioativa está em processo de desintegração, de modo que no instante t a quantidade não desintegrada obedece à lei , onde A(0) indica a quantidade da substância no instante t = 0. Calcule o tempo necessário para que metade da substância se desintegre.


5) Uma sequência é definida por:
para .

Sendo e , calcule .


Gabarito:


1) r = 3 ou r = - 3
2) 10/3
3) 3k(k – 1)
4)
5) 5