Limites trigonométricos
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Limites trigonométricos
por JoaoGabriel Sáb 02 Fev 2013, 00:55
O objetivo deste tópico é mostrar de forma direta e precisa como são feitos limites de funções trigonométricas, que são muito úteis para obter a derivada dessas funções.
Limite fundamental trigonométrico:
Limite fundamental trigonométrico:
- Demonstração 1:
Note as seguintes áreas construídas no ciclo trigonométrico:
Pela noção de área, temos obviamente que:
Ou seja:
Portanto:
e
Entretanto, temos o seguinte artifício:
Só que da trigonometria básica, temos que. Substituindo, vem:
Então, para todotemos:
Pelo teorema do "sanduíche", ou para os mais eruditos teorema do confronto:
Seja f, g e h 3 funções distintas nas quais:
See
, então necessariamente
.
Temos quee
. Então
.
- Demonstração 2:
Pela regra de L'Hôpital, também denominada regra de Cauchy:
Seja f(x) = senx e g(x) = x.
Temos que f'(x) = cosx e g'(x) = 1. Então:
- Aplicações:
a)
b)
- Questões:
Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d) [Esse é enjoado]
e)
[Dica: faça a substituição]
- Gabarito das questões:
a)
b)
0
c)
1
d)
e)
1
JoaoGabriel- Monitor
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