Aprendendo a derivar (2)

por **Euclides** Dom 03 Fev 2013, 00:38

Vamos prosseguir com mais algumas regras de derivação, falando primeiro da Regra da Cadeia.

Suponha que tenhamos de derivar a seguinte função:

$\dpi{120} f(x)=(3x^2+1)^{199}$

não parece prático desenvolver com o binômio de Newton para derivar como uma função polinomial. Podemos olhá-la com outros olhos

$\dpi{120} h(x)=x\;\;\;\;\;g(x)=(3x^2+1)\;\;\;\to\;\;\;f(x)=h(g(x))$

Uma função composta. A Regra da Cadeia nos diz que se h(x) e g(x) são funções diferenciáveis e f(x)=h(g(x)), então f(x) também é diferenciável e sua derivada é

$\dpi{120} \boxed{f'(x)=h'(g(x)).g'(x)}$

e teríamos que

$\dpi{120} f'(x)=198(3x^2+1).6x\;\;\;\to\;\;\;f'(x)=1188x(3x^2+1)$

Veja agora como dizer o mesmo na notação de Leibnitz

$\dpi{120} \boxed{\frac{df}{dx}=\frac{dh}{{ dg}}\cdot\frac{ dg}{dx} }$

isso agora nos permite derivar a função raiz quadrada

$\dpi{120} \\f(x)=\sqrt{3x^2+1}\\h(x)=\sqrt{g(x)}\\g(x)=3x^2+1\\\\h'(g(x))=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g'(x)=6x\\\\\\f'(x)=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}\\\\\\\boxed{f(x)=\sqrt{g(x)}\;\;\;\to\;\;\;f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}}$

Mais algumas regras

$\dpi{120} \\\boxed{f(x)=sen(x)\;\;\;\to\;\;\;f'(x)=cos(x)}\\\boxed{f(x)=cos(x)\;\;\;\to\;\;\;f'{x}=-sen(x)}$

Calcule

$\dpi{120} f(x)=sen(2x^2+3)\;\;\;\;\to\;\;f'(x)=?$

(use a regra da cadeia)

encontre a derivada de

$\dpi{120} f(x)=\tan(x)$

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PS: se tiver dúvidas neste tópico poste-as como questões na seção Iniciação ao cálculo.

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