Aprendendo a Derivar - Máximos e Mínimos (4)

Vamos regressar para onde iniciamos: a derivada como inclinação de uma tangente a uma curva dada. [De um limite nasce uma derivada (6)].

Essa ferramenta fornecida pela derivada, isto é, a possibilidade de encontrar uma tangente terá inúmeras aplicações práticas.

Vamos examinar o comportamento de algumas curvas



muitas funções exibem curvas que mudam sua inflexão uma ou várias vezes. As parábolas (nossas velhas conhecidas) mudam sua inflexão uma vez exibindo um ponto de mínimo quando a concavidade é para cima, ou um ponto de máximo quando é para baixo. A função do terceiro grau inflete duas vezes, exibindo um máximo e um mínimo locais.

Note que os pontos de máximo, ou mínimo das parábolas são globais, ou absolutos. Representam o maior, ou menor valor que a função pode assumir em todo o seu domínio. Na função do terceiro grau esses pontos são máximos e mínimos locais, isto é, dentro de um intervalo limitado do domínio. A função y=sen(x), por exemplo apresenta uma infinidade de máximos e mínimos, cujas coordenadas horizontais se alternam em múltiplos do semi-período e cujas coordenadas verticais são simétricas e de mesmo valor absoluto.

Esses pontos notáveis têm todos uma particularidade em comum: as tangentes às funções nesses pontos são horizontais.



Essa peculiaridade nos trará uma relação importante. Sabemos que a derivada de uma função num ponto dado fornece a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Ora, se a inclinação da reta horizontal é igual a zero, a derivada da curva num ponto de máximo ou de mínimo será igual a zero.

Com efeito, vejamos a curva . Essa parábola tem a concavidade para baixo e apresenta um ponto de máximo que podemos desejar conhecer.

Você já aprendeu no nível médio que esse ponto é o vértice da parábola e também já sabe como encontrá-lo. Sua coordenada horizontal é dada por:



Podemos também empregar o que já sabemos das derivadas, com a vantagem de que isso servirá para qualquer curva e não apenas as parábolas.

1. Derivamos a função



2. Quando a derivada for igual a zero, isto é, a tangente for horizontal, teremos a coordenada horizontal do ponto de tangência



Se pudermos ter certeza de que isso funcionará sempre tão bem, teremos uma ótima ferramenta para localizar máximos e mínimos de qualquer função.

Vamos procurar essa certeza no artigo que virá a seguir.

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PS: se você tiver dúvidas sobre este assunto coloque-as como questões na seção Iniciação ao Cálculo do fórum
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