DESAFIO-Física-IPHO

Eu estou fazendo está postagem para que cada um possa expressar seu raciocínio!não quero respostas esse post é apenas uma diversão para aqueles que gostam de física-lembrando não quero uma resposta certa só quero ver as tentativas de cada um!! esse post é como se fosse uma espécie de discurssâo sobre física!
(IPHO-seletiva)
Considere a Terra com uma massa M, raio R e densidade constante. Imagine que se possa fazer um furo, não necessariamente passando pelo centro da Terra, conectando dois pontos quaisquer da superfície. Um objeto é jogado dentro deste furo. Qual será o tempo gasto para que o objeto atinja o outro ponto da superfície terrestre. Desconsidere quaisquer efeitos de atrito neste problema. Use G como a constante universal da gravitação


lembrando só quero que participem e discutem a questâo-o objetivo não é acertar mas sim tentar!!(OBS:não tenho gabarito)

Acredito que seria 

Tendo como densidade uniforme, podemos ter uma relação com as massas das cascas esféricas:





Nesta casca esférica, podemos verificar que o objeto realizará um M.H.S pois sempre a força gravitacional nesta casca vai servir como uma força restauradora para o centro da órbita adentrada, então, podemos dizer que: 







Como a densidade é uniforme, temos a massa M', encontrada anteriormente, que será:







Isto é uma equação característica de um M.H.S, logo, encontramos o período T:



Como na questão queremos o tempo de ida pra outra extremidade, podemos dizer que este tempo é T/2.

Meu palpite é o mesmo do Vitor. 

Spoiler:

Supondo correto o resultado, acho interessante que o tempo não dependa da distância entre túnel e centro da Terra.

Por mais que o Tiago tenha dito, eu conheço a resposta correta e vou citar. A título de curiosidade são aproximadamente 42 minutos para qualquer trajetória. (isso para os dados da terra). Pensem só como esse meio de trasporte poderia ser vantajoso? para a questão podem ter certeza que a resposta do vitor está certa.

O campo gravitacional para o interior da terra cresce a medida em que se afasta do centro, assim no centro da terra (desta terra em questão) não existe força resultante, no sentido de se anular o efeito gravitacional. A relação entre as massas pode ser verificada, e além disto há de se considerar apenas a massa contida na calota de volume 4pi(R-r)^3/3 depois de o objeto andar uma distância r, pela lei de newton a respeito das calotas esféricas. Assim a demonstração do vitor segue. Só para completar, quando chegamos em:



Onde v é a velocidade do corpo durante a queda, poderíamos escrever(usando a regra da cadeia):



"Adicionando o símbolo de integração" em ambos os lados.(um caso semelhante ao da velocidade de escape) :



Assim o metrô não pode ir além de r=R, pois o módulo de v não pode ser imaginário, sacaram? Por outro lado a velocidade máxima ocorre em r=0 e V=raiz2(Gm/R) que é (raiz de 2) vezes menor que a velocidade de escape. Mas isso não é coincidência, analisem a terceira lei de kepler:


Se "deflexionarmos" a órbita para uma reta, ou qualquer trajetória, que passa a uma distância R (raio do planeta) da terra, que é condição para passar por dentro do planeta, basta tirar a raiz e r=R já que estamos tratando do raio médio de uma elipse contida em uma esfera. A lei de kepler  é  de fácil dedução:http://www.brasilescola.com/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm, e ficaríamos com a mesma:



E é claro que isso não depende de distâncias já que teremos o mesmo R. Essa é uma boa forma de contornar todas os problemas trigonométricos envolvidos para provar que não, mas sobramos com o de mostrar que a "orbita" no interior da terra levaria o mesmo tempo que uma reta. Felizmente a resposta para isso é afirmativa pois esta órbita formaria um túnel reto em relação à geometria terrestre a fim de manter a órbita elíptica, em relação ao centro da mesma. Basta ver que em coordenaras cilíndricas a equação de uma reta como função r(teta) onde teta é o ângulo e r o raio sobrepõe-se a equação da elipse. Quando o trem passa pelo centro isto é trivial. Quando o trem não passa pelo centro basta analisar a relação de distância entre o centro e o túnel combinada com o descarte gravitacional pela parcela de massa a medida que a profundidade do trem aumenta.

O último passo seria bem mais difícil, mas neste ponto acredito que todos já estejam satisfeitos com os resultados. valeu pelo tópico este é um assunto bastante interessante.