raízes da equação

encontre  a solução real da equação : [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

√(1-x) = 2x² - 1 + 2x√(1-x²)
C.E: 1-x ≥ 0 e 1-x² ≥ 0 ∴ -1 ≤ x ≤ 1
Como x está entre -1 e 1 , podemos efetuar uma substituição trigonométrica: seja x = cosθ , θ ∈ [0,pi] ,temos:
√(1-cosθ) = 2cos²θ -1 + 2cosθ√(1-cos²θ)
√(1-cosθ) = cos2θ + 2cosθsenθ
√(1-cosθ) = cos2θ +sen2θ
Como √(1-cosθ) é sempre não negativo, gera outra restrição:
cos2θ + sen2θ ≥ 0
utilizando o 'truque' do triângulo retângulo, obtemos:
√2sen(2θ + pi/4 ) ≥ 0 ∴ sen(2θ + pi/4) ≥ 0 :
0 ≤  2θ + pi/4 ≤ pi ∴ 0 ≤ θ ≤ 3pi/8

agora podemos elevar ao quadrado:
1- cosθ = cos²2θ + 2sen2θcos2θ + sen²2θ
1-cosθ = 1 + sen4θ
sen4θ = -cosθ
sen4θ = sen(θ - pi/2 )
4θ = (θ - pi/2) + 2kpi ou 4θ = pi - (θ - pi/2) + 2kpi , k ∈ Z
∴  θ = -pi/6 + 2kpi/3 ou θ = 3pi/10 + 2kpi/5

Para o intervalo [0 , 3pi/8] , temos apenas θ = 3pi/10.

S= { x ∈ ℝ / x = cos(3pi/10) }
questão boa..

obrigado !!