Uma técnica para derivação

por **Euclides** Sáb 05 Jul 2014, 17:38

Uma técnica para derivar funções que estejam elevadas a um expoente real se baseia no conhecimento da derivada da função logarítimo neperiano.

$\\y=\ln[f(x)]\;\;\;\to\;\;y'=\frac{f'(x)}{f(x)}$

com isso será possível derivar qualquer uma daquelas funções. Exemplo

$\\y=\cos^n(x)\\\\\ln y=\ln \cos^n(x)\\\\\frac{d}{dx}\left ( \ln y \right )=\frac{d}{dx}\left ( \ln \cos^n(x) \right )\;\;\to\;\;\frac{d}{dx}\left ( \ln y \right )=n\frac{d}{dx}\left ( \ln \cos(x) \right )\\\\\frac{y'}{y}=n\frac{-\sin(x)}{\cos (x)}\;\;\to\;\;\frac{y'}{y}=-n\tan(x)\;\;\to\;\;y'=-ny\tan(x)$

substituindo y na derivada obtida:

$\\y'=-n\cos^n(x)\tan(x)\\\underline{y'=-n\cos^{n-1}(x).\sin(x)}$

por Matheus Fillipe Sáb 05 Jul 2014, 18:05

Esse método é realmente excelente Euclides, uma mão na roda. Um dia inventei um problema e não conseguia resolver porque não conhecia a derivada de x^(x). Vou colocar aqui o desenvolvimento:
$y=x^x\;\;\;\;\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=?$

$ln(y)=ln(x^x)=xln(x)$

Derivando em respeito a x em ambos os lados:
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}ln(y)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[x.ln(x)]$

$\frac{y'}{y}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[x.ln(x)]=ln(x)+1$

Substituindo y por x^x:

$\frac{y'}{x^x}=ln(x)+1\;\;----->\;y'=x^x[ln(x)+1]$

Que é a derivada de x^x.

O método também é útil para e^(ax):
$y=e^{ax}$

$y=e^{ax}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}ln(y)=\frac{y'}{y}=a\;---->\;y'=ae^{ax}$

Assim também pode se calcular x^(x^x) usando o resultado anterior e aplicando logaritmo natural novamente:

$y=x^{x^{x}}\;\;ln(y)=ln(x^{x^{x}})=x^xln(x)$

$\frac{y'}{y}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}ln(x^{x^{x}})=x^xln(x)=ln(x)\frac{\mathrm{d} x^x}{\mathrm{d} x}+\frac{x^x}{x}=ln(x)x^x(ln(x+1))+x^{x-1}$

Portanto:

$\frac{\mathrm{d} x^{x^{x}}}{\mathrm{d} x}=x^{x^{x}}[ln(x)x^x(ln(x+1))+x^{x-1}]=x^{x^{x}}x^x[ln^2(x)+ln(x)+\frac{1}{x}]$

por **Willian Honorio** Qui 01 Fev 2018, 00:25

Generalizando a derivada de funções do tipo $y=f(x)^{g(x)}$ cuja dedução é feita aplicando a expressão ''Logaritmo Natural'' em ambos os membros:

$f(x)=u\\g(x)=v\\y=u^{v}\\\ln y=\ln u^{v}\\\ln y=v.\ln u\\\\\frac{d}{dx}\ln y=\frac{d}{dx}\left (v.\ln u \right )\\\\\frac{y'}{y}=v'.\ln u+(\ln u)'.v\\\\\frac{y'}{y}=v'.\ln u+\frac{u'}{u}.v\\\\y'=y.v^{'}.\ln u+y.\frac{u'}{u}.v\\\\y=u^{v}\\\\y'=u^{v}.v'.\ln u+u^{v}.\frac{u'}{u}.v\\\\y'=u^{v}.v'.\ln u+v.u^{v-1}.u'\\\\\boxed{\left ( u^{v} \right )'=u^{v}.v'.\ln u+v.u^{v-1}.u'}$