Hidrostática

por desyre.f Qui 09 Nov 2023, 17:24

Considere uma barragem de 10 metros, cúbica, e com a face superior aberta a uma pressão atmosférica de 1 atm. Uma das faces é a “porta” da barragem e encontra-se articulada em sua aresta inferior.A força necessária para fechar essa barragem e o ponto de aplicação em relação à superfície superior valem, respectivamente:
Hidrostática 7CAE646E-DFEF-5560-C167-2AD9868D44C2-400

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Gabarito: 15 MN e 5,6 m

por **Giovana Martins** Sáb 11 Nov 2023, 13:20

Esta questão é daquele jeito kkkk. Faltou a questão informar alguns dados para podermos resolver o problema de forma menos subjetiva. De qualquer modo, fiz algumas adoções ao longo da resolução. Não se trata de uma questão simples.

Questões de barragem iguais a esta são clássicas no meio acadêmico quando a gente estuda hidráulica, fenômenos de transporte ou mecânica dos fluidos.

Não são tão comuns de aparecerem no vestibular (estou supondo que esta seja uma questão voltada para alunos do ensino médio).

As setas em azul indicam a pressão exercida pelo fluido na "porta" barragem. Note que as setas aumentam conforme a profundidade aumenta, o que está de acordo com o teorema de Stevin.

Primeiramente, vamos descobrir o perfil de pressões que atua sobre a "porta" da barragem. Este perfil de pressões corresponde a lei de formação, isto é, a função que representa a pressão que o fluido exerce sobre a "porta".

Note que no ponto mais alto da "porta" atua somente a pressão atmosférica. Por sua vez, no ponto mais baixo da "porta", atuam as pressões atmosférica e da coluna líquida do fluido.

Deste modo: P(h) = ρgh + P_Atm.

Condições de contorno: para h = 0 m, isto é, no topo da "porta" agem somente a pressão atmosférica e para h = h m age sobre a "porta" a pressão da coluna líquida e a pressão atmosférica.

A questão não informou qual fluido se trata, o que deveria ter sido feito. De qualquer modo, vou propor que estamos falando de água.

A pressão no fundo da barragem é dada por:

[latex]\\\mathrm{P(10) = 1 \times 10^3 \times 10 \times 10 + 1 \times 10^5 = 2 \times 10^5 \ Pa}[/latex]

Para chegar ao gabarito da questão, nota-se que a questão pede a força média exercida sobre a "porta". Para encontrarmos a essa força, precisaremos trabalhar com a pressão média exercida pela água. Achando a pressão média exercida pela água, pelo equilíbrio de forças encontramos a força a ser exercida na "porta".

Pelo Teorema do Valor Médio (Teorema de Lagrange), a pressão média exercida pela água é dada por:

[latex]\\\mathrm{\bar{P}=\frac{1}{h_f-h_i}\int_{h_i}^{h_f}P(h)dh=\frac{1}{10-0}\int_{0}^{10}\left ( 10^4h+10^5 \right )dh=1,5\times 10^5\ Pa}[/latex]

Nesta parte, para não termos que utilizar integral, basta fazer a média aritmética entre as pressões no topo e no fundo da "porta" que você encontrará a pressão média também.

Novamente, para chegarmos ao gabarito, precisamos supor que a área da "porta" seja quadrada, tal que A = 10 x 10 = 100 m². Deste modo:

[latex]\\\mathrm{\bar{F}_{\acute{A}gua}=\bar{P}A=1,5\times 10^5\times 100=1,5\times 10^7\ N=15\ MN}[/latex]

Do equilíbrio de forças na horizontal:

[latex]\mathrm{F_{Porta}=\bar{F}_{\acute{A}gua}=15\ MN}[/latex]

A altura do centro de pressão, isto é, o ponto no qual a força é aplicada corresponde ao centro geométrico do carregamento, que neste caso é trapezoidal, logo:

[latex]\\\mathrm{y=\frac{h(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{h(P_{Atm}+2P_{Fundo})}{3(P_{Atm}+P_{Fundo})}=\frac{10\times (1+2\times 2)}{3\times (1+2)}\ \therefore\ y\approx 5,6\ m}[/latex]

Nota: o perfil é trapezoidal, pois no topo da porta atua somente a pressão atmosférica e no fundo da porta atuam as pressões atmosférica e da coluna d'água.

Esta questão me recordou o período que eu estudei esse assunto na faculdade. Que dificuldade que foi para passar nessa matéria hahahaha.

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